ÉQUATIONS DU MOUVEMENT

681 . Soit une corde homogène parfaitement flexible» élastique et un peu extensible, d'une épaisseur conslanie

Fig. 176. et très-petite, ten-

due suivant sa longueur par une force équivalente à un poids donné o et attachée par ses extrémités aux points fixes A et B. On néglige son poids par rapport à a, et par conséquent elle forme une ligne droite ANB dans son état d'équilibre. Supposons qu'on Técarte un peu de la position d'équilibre ANB et qu'en même temps on imprime à tous ses points de petites vitesses. Alors elle vibrera autour de la droite AB, et il s'agit de déterminer la position et la vitesse de chacun de ses points à un instant quelconque.

Soit AMBla courbe plane ou à double courbure que forme la corde à une époque quelconque. Prenons trois axes rectangulaires A^, Aj % Az : nn point quelconque qui se trouve d'abord eu N sur la droite AB viendra, au bout du temps ^, occuper une autre position M voisine de la première. Posons

AN=rx, AP=:.r4-.v, PQ — r, MQ = :,

CIAQUAMTE-DEUXIÈME LEÇOlf. 3167

S coordonuées du point qui est eu N dans la positiou équilibre sont ar, o, o et dans le mouvement, j: -h m, z. Les déplacements des points de la corde étant trèstits, M, y^ z ont toujours des valeurs très-petites qui :it fonctions du temps t et de x, et la question conte à trouver leurs expressions en fonction de ces deux riables indépendantes.

Désignons par ds la longueur de la portion de corde intiment petite MM' qui correspond à l'élément NN'= /str ns Fétat de repos. On établit une relation très-simple tre ds et ddc^ en exprimant que JNN' et MM' ont la ème masse. Soit e le produit de la section normale de corde par sa densité au point M, dans la position AMB.

Is est la masse de MM' et celle de NN' est —, dx. en dé-

^ant par p le poids de la corde et par / sa longueur pri-

îtive AB. On a donc

Appliquons maintenant le principe de d'Alcmbert. 2s composantes de la force accélératrice du point M sont

rf>(jr-f-«) d^y d^i d'u d'y d'z dti~' IF' IF' "" IF' IF' IF'

aisque x est indépendante du temps t. Si nous appelons , Y, Z les composantes de la force accélératrice du point [, ou de la force motrice rapportée à Tunité de masse, Jles de la force perdue pour l'élément tds sont

^-■dF)"^' (^-^)"^^' {^-Hf}''-

Ces forces devant à chaque instant se faire équilibre, i a, d'après les formules qui expriment les conditions (équilibre d'un fil soumis à l'action de forces quelnqucs (405) et en appelant T la tension au point M

a68 COURS DE MÉCAHriQUB*

(c'est-à-dire T action des deux parties AM et MB)

Si Ton néglige les forces X, Y, Z, ainsi que la pesauteur, ces équations deviennent, en remplaçant eds

par -^ dx y

\ ds) Si

— -— dx.