CAS DES FETITES VIBRATIONS

682. Les équations (2) sont réductibles à la forme li' néaire et intégrables quand on suppose les vibrations très^ petites. La longueur de NN' étant dx dans la position d'équilibre, elle est devenue ds quand cet élément occupa la position MM' : sa tension est xs dans le premier cas et T dans le second. Or l'expérience montre que rallongement d'un fil homogène et d'une épaisseur constante est proportionnel à l'accroissement de tension, quand cetac* croissement est faible, et à sa longueur primitive. Donc q était un coefficient constant pour la même corde, on a

/ V m ^ — dx

Comme la corde n'exécute que des vibrations trèspeiiies et que les tangentes à la courbe AMB font des

S très-petits avec la droite ÂB, les quantités y-» — h peu près nulles, et Téquation

e alors

ds =^ dx -^ du,

»rmule (i) devient donc

du

i remarquera d'ailleurs que rallongement ds — dx ^u qu'a éprouvé la partie dx du fil est une petite

ion de dx^ de sorte que le rapport — est toujours

petit. Donc — comme — ^--j / difière très-peu de

té et dans la première des équations (2) du n^ 681

i(j:-4-a) . i / • »m • , du

-^-^ peut être remplacé par aT, puis par dq —7

se de Téquation ( 2 )^.

tte équation devient donc, en posant, pour abréger,

antité constante s-± =: «•,

î. Pour le mieux voir, on peut écrire la première ion (2] du n^ 681 ainsi :

dx '\- du -^-duX ^ ds p d^a

dT fdx'\dx \ ds

} dx gl dfi

dx-^- du

— 1 diffère très-peu de l'unité et . est

ds '^ dx

tÀjO COURS DE MÉCANIQUE.

négligeable, car en didéi en liant Téquation

ou a

dx -^ du dy dz

dx -\- du ds dy ds dz ds

■ j— — — • — — — — J- — — • — — zzzz. 0«

ds dx ds dx ds dx

dx -}- du d ' ds ce qui donne -r^ du même ordre de petitesse que

ds

dy dz ds ds

684. Ou transformera d'une manière analogue les deux autres équations (2). On a

dy dy dx dy

ds dx ds dx

dx car — est sensiblement égal à l'unité. Ainsi on peut prendre T -r- au lieu deT-p-ou |t3-|-^— -| -r-,ou enfin 0 -r dx ds \ ^ dx) dx^ «

, ,. du dy . . dv>

en négligeant 7- y ce qui est permis, parce que -r "

— sont petits. On a donc

dx

et la seconde équation du système (2) devient, en faisant» pour abréger, - — = a*,

dr dx^

La troisième équation se réduit de même, en sorie

CINQUANTE-DEUXIÈME LEÇON. ajl

a les trois équations

d'il

dt'

dx^'

d\r dt'

di^

léterminer m, j' et ^ en foiiclion de x el de t. Les )les u, ^, z étant séparées dans ces équations, on iclul que les mouvements des points de la corde paument aux axes seront indépendants et coexisteront ^influencer mutuellement. Pour une valeur arbide X la première équation, par exemple, donnant aleur de u en fonction du temps, les deux autres atisfaitcs en supposant y el z nulles; alors chaque de la corde a un mouvement vibratoire sur l'axe mt il ne s'écarte pas.

1. Les vibrations qui se font suivant AB sont dites udinales et celles qui sont parallèles à Ay et Az sont 3es transversales. Ces dernières seraient les mêmes élément à Ay et Az si les valeurs initiales de z et

kaient les mêmes que celles dejr et de --^« D'ailleurs

nations (4) étant de même forme, il suffit dMntégrer 'elles.