I. L'équation

dy dW

dt^ dx'

r intégrale» généra le

y = ff {.V -h at) -^ ^ {x — nt),

f et (p étant deux fonctions arbitraires qu'il s*agit de déterminer. Pour cela il faut connaître à l'origine du temps la courbe formée par la corde et la composante de la vitesse de chaque point parallèle à Taxe àe y. Soit donc pour r = o,

Introduisant cette hypothèse dans l'équation précédente et dans sa dérivée par rapport à t, on aura

De cette dernière on tire

Intégrant cette équation par rapport à x et posant, pour abréger,

(6) '-f/,{^)dx = JF(x), il vient

Des équations (4) et (7) on déduit

4<(x)=if/(x)-F(x)C].

Substituant j: + af à x dans (f (x) et x — at dans ^ (x)) puis faisant la somme des deux fonctions, on aura la valeur de y y où C n'entrera pas.

687. Mais il faut remarquer que par les deux dernières équations les fonctions q et ^ ne sont connues, comme

CINQUÀKTE-DBUXIEMB LEÇON. ^73

x) «t V(x)j que pour des valeurs de la variable x mprises entre zéro et /; or on a besoin de les conitre au delà de ces limites, car x devant être remplacée r x-h at et X — at, ces nouvelles variables pourront passer les valeurs zéro et /, puisque le temps t peut ^itre indéfiniment.' Pour déterminer les fonctions (f et m delà de ces limites, nous allons exprimer que les ints  et B sont immobiles. Pour le point A on aura, quel que soit f,

ff (at) -h ^ ( — at) = o.

sant at = ^, cette condition devient

i^our le point B on aura aussi, à un instant quelconque,

r) ®^ ^ (?) sont connues pour les valeurs de ^ comprises

:re zéro et /.

La dernière condition donne

l — Ç) est connue pour les valeurs de Ç comprises entre no et /, puisque / — ^ se trouve alors comprise entre les ^mes limites. Donc cp (^4-(^) sera aussi connue pour i mêmes valeurs de ^. Par conséquent, si Ton pose

[^^) sera connue pour les valeurs de ^' comprises entre ;t ni. Mais cette fonction étant déjà connue pour les leurs de ^' entre zéro et /,.le sera donc pour toutes celles mprises entre zéro et 2 /.

688. Si dans la condition {9) on remplace ^ par /-h ?, !e devient

274 COURS DE MÉCANIQVK.

Mais I41

donc Isa

Donc la fonction cj> (Ç) est périodique et a pour période 1 5 n A et comme on conuaît celle fonction pour toutes les pivaleurs de la variable comprises entre zéro et 2/, elle sera donc connue pour toutes les valeurs de Ç positives ou négatives.