NOEUDS DE VIBRATION

i. Il y a des cas où la corde, en raison de son état , se partage, pour ainsi dire, spontanément en

un certain nombre de parties égales vibrant à Tunisson ' et dont les points de séparation, appelés nœudsj restent immobiles pendant la durée du mouvement. Alors le son s'élève proportionnellement au nombre de ces parties. Nous allons en donner un exemple. Reprenons Péquation

Les dimensions et la tension de la corde étant données, on peut disposer de sa figure et de la vitesse initiale de i cbacun de ses points, de telle sorte que son mouvement soit représenté par une équation de la forme j^ = 6X,ô j étant une fonction de £ et X une fonction de x seulemenU ' En effet, pour que Téquation (i) soit vérifiée, il faut que Ton ait

^'^' X dx' ""flve d^' .

Comme le premier membre est fonction de x seulement et le second de f , l'égalité ne peut avoir lieu qu'autant que les deux membres se réduisent à une même, constante — li^. On aura donc

Comme on ne veut qu'une intégrale particulière, prenons

(4) . X=sin/\r.

La fonction d se déterminera ensuite par l'équation

d'où l'on tire

G = C ces akt'\' G sin aht

CINQUIHTB -DEUXIÈME LBÇOIf. • a^^

ir suite,

y = sin kx (C cos a A/ -+- C sin akt).

lisant I = o , nous aurons pour la figure initiale de rde

j = C sin kx

us pouvons faire que la vitesse initiale soit nulle, en >sant nulle la constante C. Le mouvement de la est alors représenté par Téquation

/ = C sin kx cos akt*

aut encore exprimer que les points  et B restent tou-

fixes. Or pour a:=o, on a bien j" = o, quel que

; mais si Ton veut que y=.o^ quel que soit t^ pour

f, il faut faire kl = rmtj m étant un nombre entier

onque; on en déduit k = — > çt le mouvemeiift de

*de est représenté par l'équation

, . mitx mant / = C sm — - — cos — ; — •

isi la corde ayant, sans vitesse initiale, la forme

courbe / = C sin — -— > si on l'abandonne à elle-

U elle effectuera une suite indéfinie de vibrations ones dont la loi est donnée par Téquation (8).

L On sait que y doit être une fonction périodique nps. En efTet, ici, j reprend la même valeur quand t

de — • — • Ainsi dans cet exemple r et -~ sont les ma ^ '■ '^ dv

m a nbre de vibrations effectuées dans Tunité de temps

n — î c'est-à-dire m fois celui qui correspond au

5s quand le temps augmente de la période — • — » et

278 COURS DB MÉGAl4IQtJE.

son le plus grave de la corde, déterminé par la théorie générale.

. 695. Nous allons démontrer que dans ce cas la corde ; se partage spontanément en m parties égales qui vibrent comme si elles étaient séparées, de sorte qu'il y aura m — I noeuds de vibrations. En effet, on obtiendra tous les points qui resteront immobiles pendant toute la durée du mouvement en posant

, mit X /,

sm = 0 ou x= — l.

i étant un nomibre entier quelconque plus petit que m On en conclut que y est nulle pour les valeurs de x

mm m

quel que soit t.

On pourrait, sans considérer un exemple partlculiert choisir les fonctions f[oc) et /i [x) telles que ç(f) et <j/(Ç) redeviennent les mêmes, non-seulement lorsque { croît de 2/, mais encore lorsque cette variable croît d un

sous-multiple quelconque — de 2 /. On on conclurait

comme ci-dessus l'existence de m — i noeuds de vibration.