Q2 COURS DE MÉCANIQUE
X = o, Y = o, Z = — g^et il vient
dp=. — pg^z -I- pw' (xdx -j- jrify ),
d'où, en intégrant et représentant la constante par g'joQ
En donnant à p des valeurs constantes, on aura diffé- ! rentes surfaces de niveau. Leur équation peut s'écrire
gp ^g^ -" ' j
Elle représente un paraboloïde de révolution dont la pa- ^ rabole méridienne a pour équation dans le plan des zx
gp ^g
Cette parabole ne cbange pas de grandeur avec p^ mais la posi tionde son sommet sur l'axede rotation est variableàvee
p, car il est à une distance de l'origine égale à C •
711 . Les surfaces de niveau sont donc toujours des paraboloïdcs, quelle que soit la forme du vase, et celle de la surface supérieure qui termine le fluide. Dans tous les cas on déterminera la constante G en exprimant que le vo* lume du liquide est donné. Supposons, par exemple, que le liquide soit contenu dans un vase cylindrique ayant pour base sur le plan xOj le cercle dont le rayon est a et que b sort la hauteur de la partie du cylindre occupée par le liquide avant le mouvement. Son volume est tt a' ft. Supposons en outre que la surface libre supporte simplement la pression atmosphérique constante représentée par tJ. Elle sera alors une surface de niveau. Il est facile d'évaluer le volume correspondant du liquide terminé par celte surface de niveau en le décomposant en tranches cylin-
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ayant l'axe dos z pour axe. On aura donc
Jça o
ziiir\
•laçant z par sa valeur déduite de (2),
CT w'r'
une équation qui fera connaître C. On trouve
tù w'/i'
)N d'un liquide sur j-e fond du vase qui le
IIENFERI^E.
Considérons maintenant un liquide pesant et essible, soumis seulement à l'action de la pe-^ En preni^nt 1rs mêmes axes que dans le cas %é^ n a
dp = 5fp//s,
DP,
ine constante. On voit que la pression varie seuivec !^ et qu'elle croit proportionnellement à la ;ur. Les surfaces de niveau sont donc des plans aux. Si Ton fait z =: o, on a ^ = cr : donc cette e représente U prçssîon qui s'exerce sur la sur- ' e, c'est-à-dire ordinairement la pression atmos^ ï. En joignant à celle-ci gpz^ on a la valeur de la
à la profondeur z : mais, pour simplifier, nous is la pression atmosphérique, qu'il faudra réta-
fin du calcul pour donner aux résultats toute rtîtude. Ainsi nous poserons simplement
294 COURS DE MÉCAltriQUE.
On conclut de cette formule que si b est Taire de la base supposée horizontale et h la hauteur du liquide, la pression totale P que supporte cette base est
On voit qu'elle est égale, quelle que soit la forme du vase, au poids d'un cylindre de liquide dont la base est 6 et la hauteur A, en sorte qu'elle peut être plus grande ou plus petite^que le poids total du liquide.
713. Supposons maintenant qu'on ait deux liquides contenus dans le même vase et quHls ne se mélangent pas.
Lei^r surface de séparation sera nécessairement un plan horizontal. En effet, on sait queUes surfaces de niveau doivent être des plans horizontaux et que dans toute leur étendue la densité doit être la même, ce qui n'aurait pas lieu si un même plan horizontal pouvait rencontrer les deux liquides. Soient b la base, h la hauteur et p la densité de la première couche reposant sur le ibnd du vase ; i', h\ p' les quantités analogues relatives à la seconde couche. La pression sur l'unité de surface de i'esl gp'hf. Cette pression se transmet à travers la seconde couche de liquide et s'ajoute à la pression gph que cette couche exerce sur chaque unité de surface de sa base. Donc la pression exercée sur le fond du vase sera g(p^h^ -h ph)b, c'est-à-dire égale au poids d^une colonne cylindrique, dont la base serait b^ qui contiendrait une hauteur h du liquide inférieur et une hauteur h' du liquide supérieur.
On aurait un théorème analogue pour un nombre quelconque de liquides contenus dans un même vase et même pour un liquide dont la densité varierait d'une manière continue avec la hauteur z*^ cela résulte d'ailleurs de la formule dp == gpdz^ intégrée entre des limites convenables.
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VASES COMMUNIQUANTS.
