Si le côté AB est à fleur d'eau, on a c = 0 ei

hia-^-Zb)

2(fl-j- 2^)

Quand le trapèze est horizontal, on a

hia-^^b) sina = o, «i=-^7 — n:T^

et le centre de pression coïncide avec le centre de gravité.

718. Quand la surfaceplongéedansle liquide est courbe, la pression totale qu'elle supporte n'est pas la somme des pressions exercées sur ses éléments, parce que celles-ci ne sont pas parallèles. En général ces pressions n'ont pas de résultante unique et se réduisent à deux forces non situées dans le même plan ou à une force et un couple.

PRINCIPE d'arCHIMÈDE.

719. Quand un corps pesant est plongé dans un Uquidey les pressions exercées sur sa surface ont une résultante unique, égale au poids du liquide déplacé et appliquée au centre de grav^ité de cette partie dujluide, supposée solidifiée n

Supposons d'abord que le corps soit entièrement plongé dans le fluide et considérons un élément quelconque (^ de sa surface. Soit p la pression, rapportée à runîtéde surface, exercée en ce point : pM est la pression supporte^

CI^rQUANTE-QUATRIEME LEÇOK. , 2g^

élément to. Désignons par X, //, y les angles que la ¥ig. 184. normale fait avec trois axes

rectangulaires. Les compo*

" s^ santés de pto suivant ces axes

\ sont pcdcosX, pcocosfx,

J ptùcosy, ou pa, pb, pc, en

— -™x**' appelant a, &, c les projections de Télément to sur les plans coordonnés.

toutes les composantes telles que pa se détruisent à deux. En effet, le petit cylindre (ù a prolongé dé- ; sur le côté opposé de la surface un' petit élément nt la projection sur le plan j^O^ est égale à a. La ion sur co', rapportée à Tunité de surface, est p^ parce > et co' sont à la même profondeur. Donc la compode la pression totale p J exercée sur a)' et parallèle r est égale à pa^ et comme elle agit en sens con- ; de celle qui s'exerce sur o), elle la détruit. On it de même que toutes les composantes parallèles à e toutes les pressions se détruisent deux à deux. Il ste donc plus à considérer que les composantes ver-

petit cylindre vertical dont la base est b) découpe i partie supérieure de la surface un autre élément ot>i la projection sur le plan xOy est c. Donc si p^ est ession en ot)|, ra|>portée à l'unité de surface, le petit dre co ot)i est soumis à une pression verticale s'exerde bas en haut et égale à [p — Pi) c^ et comme g^p js + tar, tar étant une constante, on aura

(P — Pi)c = gpc{i'^z^)c=gpel,

^pelant p la densité du fluide supposée constante, z^

de Télément ot>i, /la longueur du petit filet cy-

ique compris entre co et cdi. Cette pression équivaut

au poids du fluide dont ce petit filet tient la place.

écomposant le corps en filets verticaux infiniment

3oO . COURS DB MÉCANIQUE.

minces, chaque iilet est pressé de bas en haut par une semblable force, et Ton conclut de là que toutea les pressions exercées sur le corps se composent en une seule force verticale agissant en sens contraire de la pesanteur, égale au poids du fluide dont le corps tient la place e^ appliquée au centre de gravité de cette masse fluide. La résultante de toutes ces pressions se nomme la poussée do fluide.

720. Le principe d'Ârchimède subsiste quand le corps p'est plongéqu'en partie dans le fluide. On verrait d^abord,

comme précédemment, que les pressions horizontales se détruisent*, puis, si le cylindre vertical co'co'i a une partie en dehors du fluide, les composantes verticales des pressions exercées en co' et Ui\ seront p^=(g:ja2H-t3)cetcyc, de sorte qu'en prenant leur différence, la partie commune disparaîtra et la pression sera égale au poids d'un volume de liquide égal à la partie du cylindre plongée dans le liquide.

721. Le théorème d'Archimède a encore lieu quand b densité p n'est pas la même à toutes les profondeurs, car les pressions horizontales se détruisant, la pression verticale supportée par le cylindre w &)j serait

(;>—/?,) c = c / '^pr/ç,

en observant qu'on a toujours.

dz

rj,

a étant la valeur de z pour laquelle on a ;? = u. Or I g p cdz est le poids du fluide déplacé.

ClNQUAATE-QUÀTRlÈiaE LEÇON. 3oi

722. Le principe d'Archimède peut encore se démontrer de la manière suivante : Séparons par la pensée, dans un fluide en équilibre, une partie quelconque de sa masse. Elle est en équilibre et le sera encore si nous la supposons solidifiée. Mais alors toutes les pressions exercées contre sa surface par le fluide environnant doivent se réduire à une seule égale, et directement contraire à son poids. Il est clair que ces pressions auront encore la même résultante, si l'on substitue à cette masse de fluide solidifiée un corps solide quelconque de même forme : ce quidémontre le principe énoncé.

723. Quand le poids d^un corps est égal au poids d'un égal volume du fluide dans lequel il plonge, ce corps reste en équilibre à toutes les profondeurs, pourvu que son centre degravitéet celui du volume du fluide déplacé soient ^ur la même verticale. Le corps descend au fond du vase Ou remonte à la surface selon que son poids est supérieur Ou inférieur à celui du fluide déplacé. Dans ce dernier oas, le corps doit être en partie au-dessus du niveau supérieur, et l'équilibre ne s^établit que lorsque le poids <}u liquide déplacé est égal au poids du corps.

724. Quand on pèse un corps dans un fluide, on n'obtient pas son véritable poids , mais seulement l'excès de ce poids sur celui du fluide déplacé. Si P est le poids du corps et P celui d'un égal volume de liquide, D et p les densités correspondantes, on a

d'où

DP'

725. Le principe d'Archimède subsiste et sa démonstration est la même dans le cas où Ton considère un fluide contenu dans un vase : on en conclut que la résultante des

36a COURS DE MÉCAIIIQUE.

pressions d'un fluide sur les parois du vase qui le contient est égale au poids du fluide. Il faut bien distinguer cette pression de celle que supporte la paroi horizontale inférieure, qui peut être plus grande ou plus petite que le poids du fluide. Si Ton fait une ouverture à l'une do parois latérales, la pression n'ayant plus lieu sur la portion de la paroi qu'on a enlevée, celle qui s^exerce snr h paroi opposée ne sera plus détruite, et le vase sera mis en mouvement en sens contraire de l'écoulement do liquide. C'est là le principe des différentes machines è'tes à réaction.

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CINQUAMTE-CINQUIEME LEÇON

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