ÉQUILIBRE DES CORPS FLOTTAITTS

7S6. Déterminer la position d'équilibre d'un corps soide plongé en partie dans un liquide, revient à ^;ouper -c corps par un plan en deux segments, dans un rapport ^terminé, de telle sorte que lecenire de gravité du corps ^ celui d'un des deux segments soient sur une même ^t^pendiculaire au plan sécant. Nous allons résoudre ce ■^blème pour un prisme triangulaire droit dont nous apposerons les arêtes horizontales.

XJne section ABC perpendiculaire aux arêtes étant

faite dans le prisme, le niveau du liquide devra partager le triangle par une droite DE en deux segments CDE, ÂDE6 tels, que l'on ait

CDE ABC "" '^'

r étant le rapport de la densité U prisme à eelle du liquide. II faudra en outre que les entres de gravité G et H de ces deux triangles soient Ur une même perpendiculaire à DE. Soient

CA = fl, CB = ft, AB=c, CK = /i, CD = x, E=r,

-t3o4 COURS DE MÉCANIQUE.

X eiy sont les deux inconnues qu'il s'agit de déterminer. Or on a

surfCAB = -absinC, surfCDE= - jrjsinC,

d'où

(i) xyzsirah.

D'un autre côté, GH est perpendiculaire à DE ainsi qne FK qui lui est parallèle, et comme DF = FE, il s^ensoit qu'on a KD = KE. Réciproquement, si KD = KE,la droite KF et par suite GH sera perpendiculaire à DE. Or si Ton. nomme a et 6 les angles ACK et BCK, on a

KD =niJ-f-A» — aAarcosa, KE =:j'H-^^ — 2A7COS6; donc , puisque KD = KE ,

(2) x^ — 2^a:jcosa r=j^^— *-2/ij^COs6.

En éliminant j^ entre les équations (i) et (2), on trouve

(3) ar* — 2Acosa.a:* -|- irhab cosê.^ — r'/i*^'=:0.

Celte équation, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, Tune positive, l'autre négative. Cette dernière doit être rejelée, puisque la ligne DE doit être comprise dans l'intérieur du triangle ABC. D'après la règle de Descartes, si les angles a et 6 sont aigus et si Téquation (3) a toutes ses racines réelles, elle * aura trois racines positives et une racine négative. Celleci est inadmissible, et l'on rejettera de même corame étrangère à la question une racine qui surpasserait a ou qui donnerait pourj^ une valeur plus grande que b. Il y a donc au plus trois positions d'équilibre pour lesquelles le sommet seul est plongé dans le liquide.

727. Le problème précédent revient à mener par un point donné R une normale à une hyperbole ayant pour

ClNQUiiliiTE-CIlfQlflÈME LEÇON. iô5

asymptotes CA et CB. En effet, si l'on mène dans Fangle ACB différentes droites, telles que DE, formant des triangles DCE équivalents entre eux, le milieu de chaque droite DE se trouve sur une hyperbole ayant GA et CB pour asymptotes, et cette courbe est tangente à DE. La droite KF étant perpendiculaire à DE^ la question revient à mener par le point K une normale à cette hyperbole. On sait qu'on peut en général en mener quatre, dont Tune aboutit à la branche située dans l'angle opposé a l'aigle ACB.