Quand le triangle ABC est isocèle, on a
a = bf a = 6, A ces a = — 9 A* = a* — -7-1
ti'où
4 fl» — c«
h CO8 a = - — 7 •
Les équations (i) et (a) deviennent
On y satisfait d'abord en faisant
valeur admissible à cause de r<[ i. On obtient une autre solution en résolvant les équations
qui donnent, si Ton supposer ]>J^,
10 ra*
4û2__çl__ ^(4a2 cJ)l,6
3ô6 COURS DE MÉGANIQUE.
Comme x doit être -moindre que a^ on doit avoir
du
d'où l'on lire
Il faut en, outre que a: et j^ soient réelles et par conséquent que l'on ait
ou
c <^ 2fl V I — y r?
Si ces deux conditions sont remplies, la solution précédente sera admissible.
729. Le cas où deux sommets A et B du triangle sont immergés, se ramène ail c^s où un seul plonge dans le liquide. En effet, si l'on a (fig^ i86, p. 3o3)
ABDE
ABC
on aura
CDE ABC
et si les centres de gravité du quadrilatère ABDE et du triangle ABC sont sur une même verticale, il en sera de même de ceux de ABC et de CDE. Il suffit donc, en conservant les mêmes notations, de changer r en i — r. Les. deux inconnues CD = x, CE = y' se déterminent au moyen des équations
xy = [i — r) ab, x' — 2 hx cos a = /' — 2 hjr ces 6.
CIJMQUAKTE-ClNQtJlÈME LEÇON. ioy
STABILITÉ d'um CORPS FLOTTANT.
Un corps solide étant plongé dans un liquide, le e gravité G de ce corps et celui H de la partie
immergée doivent ôlre sur une même verticale perpendiculaire au plan de flottaison ABGD.
Supposons que Ton écarte un peu le corps de sa position d'é- ({uilibre et que tous ses points reçoivent de petites vitesses. Soit A' H' CD' la section faite dans par le nouveau plan de flottaison ^ le premier nu en ABGD.
) centre de gravité I de la acction ABGD menons Aiy'Giy, parallèle au plan horizontal A' IV G' D' >upe ABGD suivant la droite AIG. Désignons par des deux plans ABGD, AB^'GD", et par Ç la dis- 1 point 1 au plan A'B'C'D') cette distance étant ou négative suivant que le point I est situé au* ou au-dessus du niveau du Ifquide.
résoudre la question de stabilité, nous ferons i principe des forces vives. Un élément de masse 3rps flottant est sollicité par son poids gdm^ force . La partie du corps plongée dans le liquide est en outre, à la poussée, qui équivaut au poids de déplacé, et qui agit verticalement au centre lé du liquide dont le corps occupe la place, en traire de la pesanteur. La poussée du liquide peut e remplacée par de petites forces verticales, en ut à chaque élément de masse dm situé au-desniveau une force égale et contraire au poids du d'eau dont cet élément de masse tient la place, 'nière force est gpd\*^ en appelant dv^ le volume ►ar l'élément dm et p la densité du fluide. La ré-
3oS COUES DE MéCAHIQLE.
sultante de toules ces petites forces est la même que celle des iffessions exercées par le fluide sur la surface immergée du corps flottant. Ainsi, pour cliaque point matériel dm de ce corps, les composantes X. T, Z de la fiHte motrice sont
X = o, Y = o, Z=zgdm on gdm^gzAj
selon que la molécule dm est au-dessus ou au-dessous do
nirean du fluide. Donc on a, —z étant la somme des
quantités de traTail des forces motrices dans le temps écoulé ty
ou
la première somme \* zdm comprenant toute la masse
du corps et la seconde seulement la partie plongée. On a donc, diaprés le principe des forces riTes et u désignant la vitesse de la molécule <//n..
Or \* zdm =1 Mti , M étant la masse du corps et £i k«
de son centre de grarité G. D*aillears M = Vp, V étant le volume de la partie immergée, quand le corps est en équilibre. On a donc
Il faut maintenant calculer \* zd%^. Partageons cette somme en deux pardes,^rune relative à la partie ABCDL
CINQtJANTE-CirîQtJlÈME LEÇON. ioQ
lu volume V limitée à la section ABCD et l'autre à la partie comprise entre ABCD et A'B'C'D'. La première est égale à V-z', z' étant le z du centre de gravité H de la masse totale du fluide. En désignant par k la seconde, on a
<4) ^u^dm = C 4- 2^Vp(«, — z') — ^gpk.
Or soit GH = a. Si l'on projette cette droite sur la verticale du point G, on voit que Zi — ^' = zp a cos 0, suivant que H est au-dessus ou au-dessous de G. Il faut maintenant calculer h.
Considérons, à cet effet, un élément de surface dX, en n. point m, sur la section ABCD et projetons-le, par un eût cylindre vertical mm\ sur le plan de flottaison if B'C'D'. Sa projection est dï, cos 9, Pour calculer dk ou
^ partie de 'V zdi^ relative à ce petit cylindre, décompo-
ous-le en une infinité d'éléments par des plans horizon- ^Ut. On aura pour l'un d'entre eux
dv =: dz d\ ces 9 , zdv = zdz d\ cos 9.
^onc, en posant mm! =zy^
dh-=i I zdzdl cos 6 = ^ c?). cosÔ.
On peut exprimer^ en fonction de p et de 6, En effet,
baissons m/t = / perpendiculaire sur Ac, Si Ton projette
nn sur mm', on a mm' ou j^ = ^-f- ^wr=^Ç.-f-/sin6,
étant positive ou négative suivant que mn est au-des-
ous ou au-dessus de AC. Donc
r/X = - (Ç -f- / sin ô)» d\ cos 9
i/X^ = - Ç' cosÔÉ^X -h Çsin9cosô.WX-f--sin'9cos0./^£/>. 2 a
3lO COURS DE I^ÉCANIQUE.
On aura donc
X = - i;»co5 ô y^d'k -h Csin0cos B ^Idl +i sin'O cosô^)^'^^»
expressions où toutes les sommes s'étendent à tous les éléments de la section ABCD. Soient b l'aîre ABCDetfi le moment d'inertie de cette section par rapport à AIC. On a
y^d\z=b, \ld\=:o, y/»^=f£.
Donc
^ = - t Ç2 c^jg 0 | „ sinJ Q cos ô.
Substituant dans l'équation (4), on a
j ^aV/w = Cip:2g'Vp« cosÔ — gpb^'^cosB ( — g-pwsin'ôcosO -H 8.
Nous ajoutons e, parce que dans le calcul de A nous avons pris, au lieu du volume ABCD A'B'C'D', celui d'un cylindre vertical ayant pour base ABCD et limité au plan A'B'C'D' : de sorte que e est un infiniment pelitdu troisième ordre au moins.
Maintenant 0 et pétant des quantités très-petites, on
peut négliger 6' et ^*, et remplacer cos 6 par i 9 sin9
par 9, En désignant par c la constante C qp 2g\p(ij l'équation (5) devient
(6) ^u^dm = c-^gph^'^gp(ii^zVa) Ô' -f- e.
On détermine c d'après l'état du corps flottant à rorigine du mouvement. On suppose connues les valeurs initiales de Ç et de 0, ainsi que les vitesses initiales de tous les points du corps. Comme toutes ces quantités peuvent
CIJSQVIHTE'CIDIQUIEME LEÇON. 3ll
être prises aussi petites que Ton veut, il en résulte que la constante c peut être supposée aussi petite qu*on voudra.
731. Pour déduire de Téquation (a) les conditions de stabilité de l'équilibre du corps flottant , il faut distinguer deux cas.
En premier lieu, si le centre de gravité G du corps est au-dessous de celui du fluide déplacé H, Véquilibre est toujours stable. En efiet, Téquation (a) est alors
V u^dm = c — . gphli^ — gp{yL -h Va) ô' H- i.
La valeur de c qu^on détermine d'après les valeurs initiales de jui* ^, d, qu'on suppose très-petites, est positive et très-petite. Les quantités ^ et 9 ne peuvent pas croître assez pour que la somme gpb^-hgp (fji-f-V«)0* devienne plus grande que 2ç; car si cette somme devenait égale à 2c, la quantité e étant au moins du troisième ordre, le ^cond membre de l'équation précédente serait négatif et
:>n aurait y u* dm <C!o, ce qui est absurde. Il en résulte
]ue dans le mouvement du système on a toujours
On pourrait démontrer de la même manière qu'on a
• l'étant un nombre quelconque plus grand que l'unité.
Donc, comme c est une quantité positive très-petite et aussi petite que l'on veut, les valeurs des variables ^ et ô resteront toujours très-petites et par conséquent le corps s'éloignera fort peu de sa position d'équilibre».
3l2 COURS DE MÊCÀNIQUC.
732. Quant le point G est au-dessous du point H, Vèquation (2"); est
La valeur de c reste positive si Ton a /x]>> V a, àrorigine du temps. Si jx ou le moment d'inertie de Taire A6CD par rapport à la droite AIC reste plus grand que Va à toute époque, on verra comme précédemment que 6 et J resteront toujours extrêmement petites et l'équilibre sera stable. Il faudra dans ce cas que le moment d'inertie de la section ABCD, par rapport à une droite quelconque passant par son centre de gravité, I soit plus grand que Va, parce que dans le déplacement infiniment petit du corps l'intersection des plans ABCD et AB"CD^ peut prendre toutes les positions possibles autour du point I. Donc il faut et il suffit que Va soit moindre que le plus petit moment d'inertie delà section ABCD, par rapport à toutes îes droites qu*^on peut y mener par le point I. La ligne qui correspond à ce moment d'inertie minimum est ordinairement connue. Par exemple, dans un vaisseau, c'est la droite qui va de la proue à la poupe. C'est par rapport à cette ligne qu'il faut calculer le moment d'inertie de la section, et s'il est plus grand que Va, l'équilibre sera stable. Si ft devenait moindre que Va, l'équation (a) ne ferait rien connaître relativement à la stabilité de l'équilibre, parce que le second membre n'étant pas nécessairement négatif à une époque quelconque, on ne tombe pas sur la conséquence absurde que la somme des forces vives devienne négative, en supposant que p et 6 croissent indéfiniment.
DtJ MÉTACENTRE.
733. Soit s un corps solide flottant. Lorsqu'il est en équilibre, on sait que son centre de gravita G et celui H
ClNQVAMTE-Cll^QUIÈME LEÇON. 3l3
e de liquide déplacé sont sur une même perpenau plan de flottaison ABCD. Supposons que ce %• i88. corps soit symétrique par rap-
port à un plan vertical BLD, lequel contient alors la droite KGH. Imaginons qu'on dérange un peu ce solide de sa position d'équilibre, tout en maintenant vertical le plan BDG. Ce plan contiendra ours le centre de gravité de la masse fluide dent à un instant quelconque A'B' C D' la section 11. Le centre de gravité du fluide déplacé ' L est un certain point H' et le corps peut être >mme se mouvant par l'action de deux forces : ; P appliqué à son centre de gravité G et la u fluide qui s'eiterce en sens inverse suivant H'M. M où la verticale H'M rencontre la droite KGH on appelle le métacentre. Pour avoir le raouvecentre de gravité, il faut (600) supposer toute lu corps réunie en ce point et y supposer applideux forces verticales dont nous venons de lies se réduiront à une seule égale à leur difféle volume de liquide déplacé est toujours égal à î le corps déplace dans sa position d'équilibre, forces sont égales et contraires, et alors le point rester immobile, pourvu que le corps n'ait pas k^itesse initiale. On aura ensuite le mouvement >n autour du centre de gravité en le supposant [ui détruira le poids du corps, et la poussée du pliquée en M le fera tourner autour d'un axe il passant par G et perpendiculaire au plan de BLD. Mais ici il faut distinguer plusieurs cas. is ce mouvement le métacentre reste toujours \ du point G, sur la droite HGK, la poussée dû idra constamment à ramener cette droite dans
3l4 COURS DE MÉCANIQUE.
la position verticale qui répond à Téquilibre da corps. Donc cet équilibre est stable.
Si, au contraire, le métacenlre est constamment aadessous du centre de gravité, la poussée du fluide tendra à éloigner la droite KGH de la verticale, et Véquillbre du cQrps $era instable.
Enfin, si le métacentre peut être, tantôt au-dessus, tantôt au-dessous du centre de gravité, la considération seule du métacentre ne fait plus rien connaître relativement k la stabilité de Féquilibre du corps flottant.
DE Ll MESUKE DES HAUTEURS PAR LE BAROMÈTR!.
734. La hauteur de la colonne de mercure dap$ le baromètre indique la pression exercée par l'air atmosphérique dans le lieu où Ton observe. Cette pression dimi" nue quand on s'élève verticalement. Il faut cbercher li loi de sa variation en fonction de la hauteur verticale i laquelle on s'élève.
La pression ou force élastique de Tair dépend iB sa depsité et de sa température, en vertu de la loi de Mariptte et de celle de Gay-Lussac. Si l'air et différents gaz, soumis à une pression constante et la mènie pour toasj sont placés dans une enceinte dont la température varie, l'observation prouve que tous ces fluides se dilatent égalfr ment pour des augmentations égales de température, indiquées par les degrés du thermomètre à mercure, la dilatation de l'air qui correspond à chaque degré du thermomètre centigrade est de o,oo366. Elle est à peu près la même pour tous les gaz, ainsi que pour les vapeurs.
Soient ^ )a force élastique de l'air et D sa densité à la température zéro : la pression restant la même, soit D'Ia densité de l'air à la température de Q degrés. La masse d'air à la température zéro contenue dans l'unité de volume, étant portée à la température 0, occupera un volume égal
CINQUAMTE-CIKQUIÊME LEÇON. 3l5
h I -H ûf0, en désignant par a le coefficient de dilatation o,oo36$ pour chaque degré d'accroissement de la température. Les densités étant en raison inverse des volumes qu'occupe la même masse, on aura
Supposons ensuite qu'on fasse varier la pression sans changer la température 9. En désignant par p la nouvelle pression et par p la densité correspondante, on aura, d'après la loi de Mariotte,
En remplaçant D' par sa valeur et faisant -- = /c, on aura la formule
(3) /? = /p(i-f-aO).
On pourrait déterminer k en substituant dans cette formule les valeurs de p, p ol 6 obtenues par l'expérience directe; mais il vaut mieux laisser k indéterminé dan& las calculs qui suivent.
Nous avons dit que le coefficient de a, dans la valeur de p, est à peu près 0,003665 maïs comme la quantité de vapeur contenue dans l'air augmente avec la température et que la vapeur a une densité moindre que l'air sous une même pression, la densité de l'air mélangé de vapeur, quand la température s'élève, la pression m restant la même, doit diminuer un peu plus que ne l'indiquerait la formule précédente. Pour avoir égard à cette circonstance, on augmente le coefficient a, et l'on prend ûç = 0,004 •
735. Cela posé, nous pouvons établir l'équation d'équilibredela masse atmosphérique qui s'étend au-dessus de la surface de la terre. En désignant par z la hauteur d'un point quelconque de l'atmosphère au-dessus de la surface
3l6 COURS DE MÉCANIQUE.
terrestre, par p la pression, par p la densité deTairet par g' r intensité de la pesanteur en ce point, on aura inéquation
(4) dp = -^g'pdz,
déduite de Téquation
dp = f{Xdx-bYdx-hZdz) (703).
On a égard dans cette formule à la variation de la pesanteur; mais on néglige comme insensibles l'action de la force centrifuge qu il faudrait combiner avec Fatlraction de la terre, ainsi que l'attraction de la masse d'air ou de terre comprise entre la portion plane et horizontale de la terre qu'on prend pour plan des xy et la surface de niveau passant par le point que Ton considère à la hauteur z. On a alors
g étant l'intensité de la pesanteur à la surface de la terre où 2 = o, et r le rayon terrestre.
En mettant les valeurs de £;' et de p = : dam
Féqualion (4), elle devient
p ^(i + aô) (r-^zy
Comme on ne connaît pas 6 en fonction de 5, on est oblige de donner à 9 une valeur constante égale à la moyenne ou demi-somme des températures de l'air aux deux stations extrêmes où l'on se place à des hauteurs différentes. On trouve alors, en intégrant,
(7) 1/^ = — î hC.
Pour déterminer la constante C, soit cr la pression a la
CIWQUAWTE-CINQUIÈME LEÇON. ZlJ
on inférieure où l'on a z = o. On aura
/-(i-Haô) r'
^ CT ^r z g^
/? X-(l4-a9) r + 3 *(i-Haô) z
ogarithme indiqué est pris dans le système népérien, r passer aux logarithmes ordinaires, on multiplie par lodule M = 0,434^94^9 et Ton a
tn
