Soient M(x,j,z), M'(x-h Aa;, j- + Aj, z-i- Az

Fig. aH.

rTl

deux poiuts v

surface rapportée à trois axes

rectangulaires ; soit m l'élément

de surface MmM'wi' intercepté

eutre quatre plans, parallèles

deux à deux aux plans zOx et

zOy.

Quand leà acci'oissemenls Ax

et A/ sont nuls, m de\ iont Hx ilj v'i + p'+ i/' , /> el ^

désignant les dérivées partu^lles -r^: et — ; on aura donc

\np

où a représente une quanti lé i|ui devient nulle à la limite. Le z du centre de gravité de MntM'/w' peut être représenté par z -\- S, S devenant nul eu mèrae temps que Ax et Ay, car ce plan est compris entre deux plans parallèles au plan des xy menés par le point le plus haut et pur le point le plus bas de 1 élément MmM'm'. Dès lors le niomenl de l'élément par rapport au plan ^Oj est

ï V I ,-l- p' + 7* i I 4)- + 7 4 j: ij ,

y étant une quantité qui s'évanouit avec Ax et Aj-. Si l'on décompose de la même manière toute la surface tonsidérée, en appelant A l'aire de cette surface et x,, y,, z, les rmMdonnées de son centre de gravité, oii aura

Or, puisque «x'ite équation subsiste, ijucls que soient ^X et Aj}', elle sera encore vraie tjuand ces accroisse-

menls seront infinimcnl petits. Mais alors

lini 227 A. r ^r = o,

donc enfin

(3) Xz, = M 2^1 ^ p^^q^dxdy.

En opérant de cette manière par rapport aux trois plans coordonnés, on aura, pour déterminer les inconnues j*,, ri, ^1, les équations

Gt)

tenant la place de ^i-{-^*-h q^ dx dy. On ad^ailleurs

(5) ^ = r Çsji +p'-\-q' dx dy.

73. Quant aux limites de ces diverses intégrales, elles sont faciles à assigner. Si

sont les valeurs de^ correspondant à deux points, qui, sur la projection du contour de la surface sur le plan xy^ ont le même x^ il faudra intégrer d'abord par rapport à j, en considérant x comme une constante, depuis j=(p(ji;) jusqu'à y=iif{^x). On intégrera ensuite par rapport à .r, depuis x^= a jusqu'à x^= h^ en supposant que

soient les équations des plans menés parallèlement au .plan des zy^ par les points extrêmes du contour, a étant moindre que b.