C'est ce que Ton peut d'ailleurs trouver directement

En eflet, soient^ eXy' les ordonnées des courbes CD et CD', correspondant à une même abscisse, et posons

On a d'abord

kl^

ir

Jnb /» B /*r

I [y—y)dx=: f I dxdy.

Maintenant si, par les points infiniment voisins M (x, j^) et lVl'(a:-f- ^jC, r-h rf^) pris sur la surface, on mène HH' et KR' parallèles à Taxe Oy, on formera une tranche HRH'R' qui différera infiniment peu du rectangle HHTI obtenu en menant HI et HT parallèles à Ox.

Le centre de gravité g de celte tranche est infiniment voisin du centre de gravité du rectangle, et par suite du milieu de HH'. On peut donc, en négligeant des quantités infiniment petites, prendre x c\- pour les coor-

données du centre de gravité de la tranche HKK'H'; or celle tranche a pour mesure {j — j^') dx. Donc son moment par rapport à Oj^ est (y — j^) x dx^ et son moment

par rapport à O a: est - (/* — y^) dx^ ce qui donne

formules qui reviennent à celles qu'on a trouvées plus haut (74),

Cette démonstration pourrait être rendue tout à fait rigoureuse par la méthode des limites.