NIVEAU VARIABLE
7S3. Dans ce cas m et O sont des fonctions connues e h par l'équation
h -h /zrûf,
désignant la distance constante de l'orifice à l'origine es X. Il faudra exprimer que la quantité de liquide c^oulée dans un intervalle de temps dt est égale au voime compris entre les deux niveaux correspondants au ommencement et à la fin de cet intervalle. On a ainsi
33îl COURS DE MÉCANIQUE.
Inéquation
dt~^ O ' L'équation (6) devient, en remplaçant / par a — A,
g(a + S-/,) = ma— + -aV'i^---y ■
En éliminant dt entre ces deux équations et posant U' = agz, on aura
équation linéaire qu'on sarit intégrer. Lorsque z sera connu en fonction de A, on connaîtra U et par suite U La quantité de liquide écoulée se déterminera en calculant le volume du vase compris* entre le niveau initial et le niveau variable.
754. Si l'orifice îl est très-petit, Téquation (6) se réduit à
ce qui donne pour U la vitesse limite que nous avons trouvée pour f = oo . La vitesse que donne l'expérience est moindre que celle calculée par cette formule, dans le rapport de 0,62 à i, rapport à peu près constant.
MOUVEMENT PERMANENT d'uN LIQUIDE.
755, Il peut arriver qu'un liquide soit animé d'un mouvement permanent, c'est-à-dire tel, qu'en un point quelconque la pression soit toujours la même et que la vitesse de cliaque molécule qui passe par ce point soit aussi constante en grandeur et en direction ; d'où il suit que des molécules qui à. des époques différentes occupent une même position parcourent la même trajectoire d'une manière identique.
Le principe de d'AIembert fournit les trois équations
' dp /__ d^Y\
dp dz
[ui expriment que les forces perdues se font équilibre Uns la masse fluide; p désigne la pression en un K)int quelconque m, dont les coordonnées x, y^ z sont considérées comme d^s variables indépendantes. La nolécule fluide /x qui passe par ce point m, au bout du :emps /, a aussi pour coordonnées x^ j^ z a cette épo- ]ue; et si Ton suit cette molécule dans son mouve- 3ient, ses coordonnées deviennent des fonctions du temps H prennent après le temps clt qui succède au temps t des iccroissements qu'on désigne par dx^ dy^ dz. Les com-
fit ' jc d^ Y d^ z
K)8antes de la force effective sont —rri — rr' — tt» x. r, z
dt^ dt^ dt^ ' ^'
tant, comme nous le disons, fonctions de t pour la mo-
kîule mobile que Von considère, ce que nous suppose*
>ns toujours dans ce qui va suivre.
En multipliant les trois équations (i) respectivement
ar dxy dj^ dzy on obtient
/^ . ,r , r, , X (dxd^X'hdrd^y'i'dzdH) 9 =: p{%da: -{-Ydr -hZdz) — p ^ ".^ ^ ^
) dpz=p {Xdx -h Xdy + Zdz) ^£-d. v\
est la vitesse de la molécule /x à Tépoque t où elle passe 1 point rriy et dp est Paccroissement de la pression quand 1 passe du point m au point où arrive celte molécule >rès le temps dt^ la pression en un même point étant >ujours indépendante du temps.
756. Cette équation peut s'appliquer à un liquide pesant, dont le niveau est entretenu à une hauteur constante et qui s'écoule hors du vase qui le contient par un orifice pratiqué à sa partie inférieure. On a pour le mouvement , d'une molécule quelconque, en prenant Taxe des z vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur,
(3) dp = gpdz pd.if^.
En intégrant entre deux points quelconques de la trajectoire dont les distances au plan des xy soient z^ et z, il vient
(4) p — Po= gp (2 — ^0 — - pi^'—Oy
Pu et (^0 étant la pression et la vitesse au premier point, p et 1^ au second.
757. Supposons que la surface supérieure du liquide soit plane et soumise en tous ses points à une pression égale et constante Pq. Si nous faisons dans l'équation (3) Zo = o, po = Pqî '® premier des deux points que l'on considère sera pris à la surface supérieure du liquide, et l'on aura
p — P, = gpz^-p{i^-ul).
Si le vase est percé d'un petit orifice à la partie inférieure à une distance h au-dessous du niveau supérieur, on pent admettre que tous les points qui passent par cet orifice ont la même vitesse p», en sorte que pour x = h il nj ait qu'une valeur de p». En désignant par P la pression extérieure qui s'exerce à l'orifice, on aura
P-P, = gph^^p(u^^ç\)
ou
en posant P^ — V =z gpk^ h devant être positive ou négative suivant que P est plus petite ou plus grande que P^.
On voit que la vitesse i^^ doit être la même pour toutes les molécules situées à la surface supérieure du liquide.
Soit (ù Taire de Torifice et II Taire de la section du Tase par le plan du niveau supérieur : on a
car la quantité de liquide qui sort du vase par Torifice o) pendant le temps dt et qui a pour expression (ùwdt^ la direction de la vitesse i^ étant sensiblement verticale, est égale à une tranche de liquide située à la partie supérieure ayant pour base Taire A et pour hauteur i^^ dt^ la vitesse i^^ étant aussi verticale.
On a donc
et
d'où
