UN SENS

76S. En prenant pour origine des x l'extrémité fermée, on aura la condi-

Fig. 191.

€lU

V K' 0 L K tion — = opourx=o,

quel que soit t» Les fonctions 9 [x) et ^ (x) ne sont données que pour les valeurs de x positives.

34^ COURS DE MÉCAKIQL'E.

La condilion — = o pour a; = o donnera , quel que

soit t (positif ou négatif si Ton veut que les états antérieurs à l'origine du temps soient représentés aussi bien que ceux qui suivent ),

ou, en désignant par z une variable quelconque, positive ou négative,

Cette équation détermine les fonctions cy' et ^' pour les valeurs négatives de la variable, ces fonctions étant données pour les valeurs positives.

Les valeurs (3) de — et de — ainsi déterminées pour

des valeurs quelconques de j? et de t sont les mêmes que si le tuyau, n'étant pas fermé en O, s'étendait indéfiniment dans les deux sens, l'état initial étant choisi du côté où l'on prolonge le tuyau de la manière qui vient d'être indiquée.

Dans cette hypothèse, en changeant a? en — x dans les formules (4),. on aura, pour la dilatation et la vitesse de la tranche qui répond à l'abscisse — x, en ayant égard à la relation ( 5 ) ,

^ = ^' {-X ^ at) + ^y {-- X ^ at)

= '^'(x^ ai) H- (p' (.r + at) = \^\ ,

Ainsi dans deux sections à égales distances de l'origine O, la dilatation est la même et les vitesses sont égales et de signes contraires.

GIINQUAMTE-SEPTIEME LEÇON. 34^

Il suffit que cette propriété ait lieu à l'origiue du temps pour qu'elle ait lieu à une époque quelconque; car pour qu'elle ail lieu quand f = o, on retrouve la condition

766. Si Tébranlement initial est renfermé dans un espace limité KL entre les abscisses k et ^-h /, il donnera naissance à deux ondes animées des vitesses a et

— û, et d'après ce qui précède, il y aura deux ondes symétriques de celles-ci, s'écàrtant à droite et à gauche de l'intervalle K' L' symétrique de KL.

Celles qui s'éloignent de l'origine O n'éprouveront aucune altération. Quant aux deux autres, elles arriveront en même temps en O, et, continuant leur route, elles se composeront en se pénétrant, de sorte que les valeurs

de -7^ et — en un mênie point commun aux deux ondes

ux ut

seront les sommes des valeurs qu'elles ont dans chaque onde^ puis ces deux ondes, après s'être traversées et séparées, continueront leur marche sans altération. , On voit, d'après leur symétrie, que l'effet produit dans %• tuyau réel est le même que si les diverses tranches de l'onde,' qui s'approche du plan fixe O, se repliaient sur elles-mêmes en conservant la même densité et prenant une vitesse égale en sens contraire. Après que toutes ces tranches seront arrivées en O, on aura une onde se dirigeant du côté des x positives, et qui ne sera autre chose que la première renversée, comme on vient de le dire. C'est en cela qtie consiste la réflexion du mouvement sur un plan fixe.

TUYAO IWDÉFIKI DANS UN SENS ET OUVERT t)ANS UN MILIEU