Si Ton désigne par a Tangle BAC, on a

H = sPcos -a.

R représente également la pression supportée par le point A, quand on fixe Tanneau.

389, Equilibre du polygone funiculaire. -<- Soit un polygone fiiniculairr ABCDEF. Le prcmi(;r cl le der-

390 TABLE DES PROPOSITIOKS

nier cordon, AB et EF, sont sollicités par des forces H

et K dirigée& nécessairement suivant le» prolongements

de ces cordons, sans quoi ^'^" ''^^' il n'y aurait pas équilibre.

Aux différents sommets B, C, D, E sont appliquées des forces quelconques P, P', P'', P**, agissant par l'intermédiaire de cordons qui se réunissent en ces points.

Il est inutile de supposer plus de trois cordons réunis au

même sommet.

390. Dans tétat d'équilibre^ chaque cordon^ tel que CD , doit être tiré par deux forces égales et contraires qiion peut supposer appliquées à ses deux extrémités»

391, 392. Ce principe conduit aux conditions d'équilibre du polygone funiculaire.

Toutes les forces immédiatement appliquées au polygone funiculaire, transportées parallèlement à ellesmêmes en un point quelconque ^ se font équilibre autow de ce point^ et la tension de chaque cordon est la résultante de toutes les forces qui agissent dun même côté de ce cordon,

393. En supposant connue la figure du polygone en équilibi^, on a

sin PBC sin ABC '

sin ABC sin ABP '

sin P'CD

sin BCD

sin BCD '

"~ sin BCP'

cl ainsi de suite.

On aura le rapport de deux forces ou tensions en multipliant un certain nombre de ces proportions terme A iprme.

ET DBH FORMULES PRINCIPALES. igi

394. Appelons a, ft, c-, e,/,gf^a, P, y^a',^', y', ..., les angles que font avec trois axes rectangulaires les directions des forces données H, K, P, P, . . . , on aura

H ces « -f- K ces tf -h P ces a -f- P' cos a' -h . . = o, H ces & H- K COS/-+- P €08 p H- P' cos P' -4- . . . =:= o, H cos tf -H K cosg -h P COS7 -H P' cos 7' -4- . . . = o.

395. Réciproquement, si les forces sont telles^ que^ transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque j elles s^j fassent équilibre , il y aura toujours une figure (T équilibre,

396. Supposons fixées les extrémités A et F du polygone funiculaire, dont la forme est donnée. Les intensités des pressions H et K s'obtiennent au moyen des deux proportions

H sin PBC K sinDEP^ P "" sin ABC* P "" sin DEF '

397 . Si la figure du polygone n^est pas donnée, on aura» pour déterminer les huit inconnues H, K, a, b, c, e^f g^ d'abord les cinq équations

H cos fl -h K cos <f •+- P cos a -H . . . = o, H cos ^ -H K cosf -h P cos p -♦-... = o, H cos c -4- K cos ^ ~h P C0S7 H- • . . = o ;

<*(ï8' a -f- cos^ b 4- cos' r = I , cos^ e 4- cos^y -f- cos' g' = i .

On obtiendra trois autres équations eu exprimant que ia différence des coordonnées de même nom des extrémités A 61 F du polygone est égale à la projection du polygone sur Taxe correspondant

398. Ca5» ou il y a des anneaux. — Si tous les sommets portent des anneaux, les tensions de tous les cordons

sont égales, d'où résulte

H = K, P = 2H ces- B, P' = 2H CCS- C,

399. Si Ton se donnait. la figure du polygoue, on connai trait par là en grandeur et en direction les forces qu'il faudrait appliquer à chaque sommet pour le tenir en équilibre.

400. Supposons que les cordes extrêmes AB, EF soient dans un même plan. Pour avoir la tension des cordons extrêmes, il suffit de décomposer suivant leurs directions la résultante de toutes les forces transportées parallèlement à elles-mêmes au point de rencontre de ce9 cordons.

401. Si toutes ces forces représentent des poids, tout le polygone est compris dans un même plan vertical. Si Ton prend deux axes dans le plan des forces, l'un horizontal, Tautre vertical, et si a et b^ e et y sont les angles formés avec ces axes par les cordons extrêmes, on aura

H ces rt -f- K ces e z=o, H cos ô -h K cos/4- P 4- P' -4- P". . . = o.

402. Cas ou il y a plusieurs cordons a un même SOMMET DU POLYGONE, — Il faut, pour Téquilibrc, que l'une quelconque des forces qui sollicitent les cordons soit égale et directement contraire à la résultante de toutes les autres. Si Ton fixe un point sur chacun des cordons, excepté sur un seul, les pressions que la force P exerce sur les points fixes, s'il n'y a que trois cordons, non situés dans le même plan, s'obtiendront en décomposant la force P en trois autres agissant suivant les prolongements des cordons. S'il y a plus de trois cordons, le problème devient indéterminé.

ÉQUILIBRE d'un KIL FLEXIBLE.

). DiKECTIOXr DR LA TENSION DANS UN FIL EN ÉQUl-

. — Soit AMB un fil flexible, d'une très-petite épaisseur, attaché par ses extrémités A deux points fixes A et B, et dont tous les points sont soliij citrs par de très-petites forces.

Soit M un point quelconque de ce fil. Les deux parties AM, ixerccnt l'une sur l'autre, dans Tétat d'équilibre, étions moléculaires égales et contraires. On admet >utes les forces qui proviennent de AM agissant sur ic réduisent à une force unique T appliquée au point de même que la partie MB exerce sur AM une action ; réduit à une force égale et contraire n T. La va- :ommune de ces deux forces est ce qu'on appelle la m du fil au point M.

l. La tension s*exerce suii^ant la tangente au Ma la courbe que forme le fil.

$, 406. Équilibre d'un fil sollicité par de PETriES

FORCES. — Cherchons maintenant les conditions d'équilibre d'un fil AMB, fixé à ses deux extrémités A et B et dont tous les points sont sollicités par de petites forces. Soient t le produit ' de la section normale par la

depsité au point M, P la force qui agit en ce point,

, Z ses composantes parallèles è trois axes Ox^

FIff. 137.

Oy, O -z, et T la tension. On a

•+■ X«r/jf = G,

(,) d[T±]+Y.ds = o,

-f Z€ds = o.