IlKTÉGRATTON DES ÉQUATIONS (l). Soient e,/, Jj
c\ f^ g' les angles que les tangentes à la courbe aux points A et B font avec les axes : on a
K CCS e -H K' cos c' -h
cette équation signifie que la somme algébrique des composantes parallèles à Vaxe Ojr, de toutes les forces qui agissent sur le fil^ est nulle.
4()8. On déduit des mêmes équations
K (« ces/ — b ces e) -H K' ( a' cos/' — h' cos ef )
(Yj: — l^x)zds=^o.
Cette équation signifie que la somme des moments de toutes les forces qui agissent sur le fil^ par rapport à Vaxe 0-z, est nulle,
409. Soient a, j3, y les angles que la tangente au point M fait avec les axes et i, jix, v les angles que le rayon de courbure p fait avec les mêmes axes : les équations (i) peuvent s'écrire
ï ds
dT . cos a H cos A -h X 6/^^ = o ,
Tds dT . cos S H cos u -hY éds == o ,
,n. T ds di . cos 7 H cos V -H Zeds = o.
ET DES FOUMULES PRIMClPALES. 39$
^e plan osculateur à la courbe contient la force P. HO. Valeur de la tbnsioiv. — On a
tll. Quand € {Xdx -hYdy -^Zdz) est une diffetielle exacte^ t accroissement de tension^ quand on se d^un point à un autre, est indépendant de la tre du fil.
A% Lorsque toutes les forces qui sollicitent le fil lui t normales, la force motrice est en raison inverse du on de courbure et dirigée suiî^ant le prolongement ce rayon.
fl3. Lorsqu'un fil est tendu sur une surface S par X forces qui le tirent à ses extrémités m et m\ ce fil :e sur la surface la ligne la plus courte entre deux Iconques de ses points.
A A. Courbe formée par le fil. — Cette courbe est née par les équations
dx dy dt
A-^- fxtds B-i- JYtds C -+. Tz I ds
•15. On obtient encore les équations de la courbe en ainant T entre les équations
Hdx — Ydjc T (^^ /
ds \ds
\dz — Zdx
ds ds ds )
\ ds ds ds ds J ^
ds
d'ï ^ — I (\dju -f- Ydy H- Zdz).
CHaInETTB. COURBE DBS PONTS S0SPKND08.
416, Equation différentielle de la chaînette. — La courbe ABC, formée par un fil pesant et homogène,
suspendu à deux points fixes A et C, a reçu le nom de chaînette.
Cette courbe est contenue dans le plan vertical passant par les points A et C. Prenons ce plan vertical pour plan des xj et traçons deux axes rectangulaires Oj: et Oy-y le premier horizontal et le second vertical et dirigé de bas en haut. *
417. Le fil étant supposé homogène, si xs est le poids dfs l'unité de longueur, on aura
418. Appelons tsh la tension au point le plus bas de la CQurbe, tension qui s^exerce horizontalement. On aun
T = tjA -r- » ds ^= hd ~Y" dx djn
419, 420. Equation de la chaînette en termes finis. — On prend pour axe Aesj la verticale qui passe par le point B le plus bas de la courbe, et pour origine ui\ point tel que OB = h :
ET DBS FOB MULES PRINCIPALES. 'igj
421, 422. Propriétés de la chaimette. -*- La chai-
tiette est symétrique par rapport à Taxe des jr. La pro-
Fig. iSg. jection MK de l'ordonnée
Ai de la courbe sur la normale
MN est constante et égale à A. La projection MI de l'ordonnée sur la tangente MT est égale à Tare BM, compté à partir du point le plus bas de la courbe. La longueur désignée par A, Tare MB et Tordonnée jr forment un triangle rectangle dont ^ordonnée est l'hypoténuse.
423. La courbe, lieu des points I tels que MI = arc BM, est une développante de la chatnette. La droite IP est tangente à cette courbe au point I, et la longueur IP de cette tangente comprise entre le point I et Taxe des x est constante et égale à h.
424. Le rayon de courbure de la chaînette est égal à la normale MN, mais dirigé en sens contraire.
