Mouvement de rotation d'un système solide
AUTOUR d'un axe FIXE. — La vitesse des points situés à
une distance de l'axe égale à l'unité est ce qu'on appelle
la vitesse angulaire ou de rotation du système. Nous la
ds désignerons par ©. La vitesse — d'un point quelconque
à une distance r de l'axe est représentée par roa.
534. Un mouvement de rotation est dit unijhnnc quand la vitesse de rotation est constante. Ce mouvement a lieu lorsque les points du système ne sont sollicités par aucune force motrice ou par des forces motrices qui se font équilibre autour de l'axe fixe.
MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR d'uN AXE (sUITe).
535. Cas ou le corps est mis en mouvement par des PERCUSSIONS. — Décomposons chaque force instantanée P en deux : Z, parallèle à l'axe O^ ^ Q, située dans un plan perpendiculaire à cet axe. Soit u la vitesse que cette dernière composante serait capable d'imprimer au point m s'il était ^bre^ o) la vitesse de rotation du système; g la plus courte distance de l'axe et de la force Q 5' on^
aura
fc>
4aa TABLE DES PROPOSITIONS
S36, 537. Si toutes i^ vitesses i^, f^', ^^•••9 ^ut épHe& et parallèles ; désignons par fi la sQminç d^9 masses des points qui reçoivent directement cette yitesse commune i^. Appelons/* la distance du centre de gravité de la masse fz à un plan passant par Taxe et parallèle à la direction des vitesses. On a
Cette formule convient à un corps solide C mobile autour d'un axe fixe O^, choqué par un autre corps Ci qui après le choc reste attaché en Cs au premier et dont tous les points sont animés de viteçseç égales et parallèles.
538, 539. Si le corps est choqué simultanément par plusieurs masses p, p', f^'S^'v animées de vitesses différentes et qui lui demeurent attachées après tous ces chocs, on aura
540. Si le système, au lieu d'éprouver des percussions simultanées, reçoit une suite de chocs se succédant à des époques quelconques, la vitesse angulaire sera toujours donnée par la formule précédente.
541 à 543. Calcul des percussions exercées sur l'axb FIXE. — Supposons que le corps soit mis en mouvement par une force instantanée qui imprimerait une vitesse V à une certaine masse /x au centre de gravité de laquelle elle serait appliquée. Cette. force instantanée ou percussion a pour mesure la quantité de mouvement Vjt^.
ET DES FOAMVl-ES PAINCIPALES. 4^3
Soient X, Y, Z les cowposanites de Ja. quantité de mou- Fi«. 164. vementpV, et Xn Yi» Zj celles
de la résistance du point O ^ X»^ Yj, Zs celles de la résistance
du point H 5 enfin 'w -r » rn—^j
m -- les composantes de la quan?
tité de mouvement effective pour le point m : soit OH = A. On
aura, pc^ et y^ désignant les coordonnées du centre de
gravité du corps entier,
Y — e*M<Ci -+■ Y, 4- Ya = o ,
Ya A — z p — » ^ mxz = o ,
— XjA-t-Za — &> ^ myz = o ,
Xp — Y« -+- w y /wrV= Q.
Ces équations déterminent Xj et Yj, X^ et Yi et la somme Zi + Z^, sans déterminer séparément Zi et Z^.
544 à 546. Conditions pour que l'axe n'éprouve
AUCUNE PERCUSSION. CeNTRE DE PERCUSSION. — 1°. La
direction de la percussion doit être perpendiculaire au plan qui passe par l'axe fixe et par le centre de gravité du corps.
2^. Cet a^e doit être un des axes principaux pour le point où il rencontre le plan qtiî lui est perpendiculaire ^t qui contient la force instantanée.
3°. Enfin la distance de cette force à Taxe doit être
é^ale à a H ? a étant la dislance du centre de gravilé
du corps à Taxe et MA* le moment d'inertie du corps relativement à un axe mené par ce centre de gravité parallèlement à l'axe fixe.
547. On appelle centre de percussion le point auquel la percussion doit être appliquée dans le plan passant par l'axe et le centre de gravité pour qu'il n'y ait pas d'effort exercé sur l'axe fixe : la distance du centre de percussion
à l'axe fixe est a H •
Si l'axe passait par le centre de gravité, il éprouverait toujours une percussion.
548. Réciproquement, si le corps est en mouvement autour de l'axe, on pourra l'arrêter brusquement sans qu'il existe aucune percussion contre l'axe en appliquant au centre de percussion une force instantanée égale à <i)Ma, perpendiculaire au plan mené par l'axe et par le centre de gravité du corps.
549. Condition pour qu'il n'y ait de percussion qu'en un point de l'axe. — Si ce point est le point H, et si Z == o, en posant
D = ^mjrz, E = ^mxz^
l'équation de condition est
DY4-EX = a>M«.
Si 0-z est un axe principal d'inertie pour le point 0, la percussion est appliquée au point O.
ROTATION d'un corps AUTOUR d'UN AXE ( SUITE ]» 550. ROTATTION d'un CORPS SOLLICITÉ PAR DES FORCES
^QUELCONQUES. — Soient X, Y, Z les composantes de la force motrice P du point m ( x, y , ^ ) , on a ,
mr
551 à 553. Pressions sur l'axe. — On applique à deux points quelconques O et H, pris sur Taxe, deux forces Ri(Xi, Yi, Zi) et R, (X„ Y„ Zj), égales et contraires aux pressions exercées sur ces deux points à chaque instant du mouvement. On aura, en posant OH = A, en désignant par [xi^ju z^) le centre de gravité du système et par M sa masse,
2 X -h -^ M j» + «»M^, -f- X, -f- Xa = o, 2Y— ^Mx,4-««Mj,-+.Y.-+-Y,=:o, 2ZH-Z, + Za=o,
2(Zr — Yz)-+--^2iwj:z — o>»2^/^— Y»^ = o, \^(Xa — Zx) -{- — ^^mjrz H-w' V /wxz-+-X,A = o, Sjjx-\r)-^^mr' = o.
554. Cas ou il n'y a pas de forces motrices. — Les résistances Ri et R^ se réduisent à deux forces perpendiculaires à Taxe, et font équilibre aux forces centrifuges de tous les points du corps qui agissent sur Taxe
4^6 TABLE DES P&OPOSITIOSS
perpendiculairement à sa direction. La force langentictte est nulle poor chaque point. Les résistances sont proportjonndles au carré de la vitesse constante «>.
355. Si un corps retenu par un seul point fixe eommefÊC^ à lo9fmer mtifmr d^un des axes principemT rtlaiifs 4 ce poim, il continuera à tourner umformémiaa autour de cM axe comme s'il était fixe.
La pression sur le point O est dirigée dans le plan <{id passe par l'axe et par le centre de gravité.
356. Pour que le point O ne suj^porte aucune piession, il faut et il suffit que le centre de gravité soit sur Taxe de rotation, et alors' le mouvement ayant commencé autour de cet axe, supposé fixe, continuera uniformément autour du même axe lorsqu'on le rendra entièrement libre.
557, 558. Cas oo les forces motrices se mÉnnsEBr A tJK COUPLE. — Les conséquences précédentes subsistent quand les forces motrices se réduisent à un couple sitaé dans un plan perpendiculaire à Taxe.
559. Un corps retenu par un point fixe O et sollicité par un couple ne tend pas à tourner autour d'une perpeodiculaire Oz au plan de ce couple, à moins que cette perpendiculaire ne soit Tun des axes principaux relatifs au point O.
560, 561. MouypMÊNT du treuil. — Si w est Jg vi- Fig. i65. tesse angulaire du système, OC = c,
PC'=c', MA* le moment d'inertie du treuil par rapport à l'axe, M k masse du treuil, on aura
me
(g^/jl)-m'c'{g+c'^'j
MX»=:0,
dt *
d^où Ton tire
Ht ~* M^'H- mc^-h m'c'^'
On aura, en supposant la vitease initiale nulle,
gi{mc — m'e^
Le mouvement est uniformément accéléré.
Si Ton avait mc = m^c'^ la vitesse angulaire serait nulle et le corps resterait en repos. S'il y avait une vitesse initiale, le mouvement serait uniforme.
562« Tensions des cordons :
pc{pc-^p'</)
V A^ -h pc^ -i- p' c'^ p' c' (pc — /?'c')
Ces tensions sont constantes pendant le mouvcuient. 563. Pression totale tJ exercée sur l'axe du treuil :
pknd«l£ composé*
565. Pendule composé. — Equation du mouvement. — On nomme pendule composé un corps qui peut tourner autour d^un axe fixe horizontal.
/^%S TABLE DBS PHOPOSITIOBS
Prenons Taxe fixe Oz pour axe des z ; pour axe des x
une horizontale Ox perpendiculaire à Oz, et pour axe des jr une Terdcale O^ dirigée dans le sens de k pesanteur. M étant la masse totale du corps et G le centre de gravité, abaissons GA perpendiculaire sur Oz, menons la verticale AD et abaissons sur cette droite la perpendiculaire GD. Soit Gi la position initiale de G, MAr* le moment d^inertie par rapport i un axe passant par le point G et parallèle à Oz. Posons GA= a, DAG =^6, DAGi = a ; on a
— sin 0 = o,
et l'on trouve
aga
- (cosO — cosa).
n étant la vitesse angulaire initiale.
