MOUVEMENT D UNE CORDE VIBRANTE
681. Equations du mouvement. — Soit une corde homogène parfaitement flexible, élastique et un peu extensible, d'une épaisseur constante et très-petite, ten-
Fîg- ï?^- due suivant sa lon-
gueur par une force équivalente à un poids donné u et attachée par ses extrémités aux points fixes A et B. On néglige son poids par rapport à cr, et par conséquent elle forme une ligne droite ANB dans son état d'équilibre. Supposons qu'on l'écarté un peu de la position d'équilibre ANB et qu'en même temps on imprime à tous ses points de petites vitesses. Alors elle vibrera autour de la droite AB, et il s'agit de déterminer la position et là vitesse de chacun de ses points à un instant quelconque.
Soit e le produit de la section normale de la corde par sa densité au point M, dans la position AMB, p le poids de la corde, / sa longueur primitive AB, T la tension au point M-, si Ton néglige les forces motrices, on a
rr ^(^ -i"")
gl dr '
rflT± as
682 à 685. Cas des petites vibrations, r/ étant un
454 TABLE DES PROPOSITlOlfS
coefficient constant pour la même corde, on a
du
et, en posant ^-i = a', - — = a',
'dt' ^^ dx^' d^z d^z
dt^ dx"
Les mouvements des points de la corde parallèlement aux axes seront indépendants et coexisteront sans s'influencer mutuellement.
686 à 688. Vibrations transversales. — L^équati
on
dt' dx^
a pour intégrale générale
^ = <p (or -h «r) + ^K^ — - at)j Soit pour f = o,
Posant, pour abréger,
^ C/,(x)dx=¥{x),
ou a
't (^) = ' [/(^) - F (^) - Cl.
ET DES FORMULES PRlMCiPAl.ES. 4^5
La foDCtion c[> (Ç) est périodique et a pour période s /. Comme on connaît cette fonction pour toutes les valeurs de la variable comprises entre zéro et a/, elle sera connue pour toutes les valeurs de Ç positives ou uégalives.
689, 690. L'autre fonction c|/ est périodique, comme la première, et sa période est aussi 2/.
La corde fait une suite de vibrations toutes égales et
isochrones dont la durée est — •
691 . La résistance de Tair et la communication d^unc partie du mouvement de la corde à ses deux points extrêmes A et B diminuent graduellement Tamplitude des vibrations et finissent par les anéantir, sans toutefois altérer sensiblement leur isochronismo.
692. Si Ton désigne par T la durée d^me vibration de la corde et par n le nombre des vibrations dans Tunité de temps, on a
a 2\ pi
Pour une même corde, le nombre n est proportionnel à la racine carrée de la tension xs ; pour des cordes d'une même matière et d'une même épaisseur, les nombres de vibrations sont en raison inverse des longueurs. Enfin pour des cordes de même longueur et également tendues, n est en raison inverse des racines carrées de leurs poids. L'expérience a confirmé ces lois.
693. NoEDDS DE VIBRATION. — Il y a des cas où la corde, en raison de son état initial, se partage, pour ainsi dire, spontanément en un certain nombre de piiib ties égales vibrant a l'unisson et dont les points de séparation, appelés nœuds, restent immobiles pendant la
TAUJE DCS PEOVOSlTiOBS
it. Alors le son s'élève propordonde CCS parties.
ïjà corde xvaBC* sa» vitesse initiale, la forme de la
coorfae V = C sut — —y s on Tabandonne à elle-même, elle cficctnera une soite indéfinie de vibrations iso-
€84. Le nombre de vibrations efifectnées dans Tunité de tcflips sera ai —r c*est-*-dire m fois celui qui correspond an son le pins ^rave de la corde, déterminé par la
695. Dans ce cas la corde se partage spontanément en m parties <%alcs q|ni vibrent ccmime si elles étaient séparées, de sorte ffoll t aura m — i nœuds de vibrations.
696, 697. ViBEATioss LOScrrroiB ai.es. — Si l'on désigne par n^ le nombre des vibrations longitudinales effectuées dans Fnni té de tcmps^^ona
:t\ pi n \ q
De deux sons les plus graves rendus par une même corde, cdui qui correspond aux vibrations longitudinales est de beaucoup le plus aigu.
ÉQCILIBKE D^rXE MASSE FLITDE.
tî98. Nonons paÉLiluxiiBEs. — Lliydroslatique a pour objet les lois de Téquilibre des iluides. Un iluide doit être considéré comme un assemblage, en apparence continu, de molécules matérielles qui cèdent au moindre effort tendant à les séparer les unes des autres.
ET DES FORMULES PRIKiClPALES. 4^7
L^hypothèse d'une mobilité parfaite pourrait conduire à des résultats peu conformes à Texpérience dans le cas d'un fluide en mouvement : mais si l'on excepte quelques liquides où la viscosité est considérable, les lois de l'équilibre auxquelles nous parviendrons en supposant les molécules parfaitement mobiles et sans aucune cohésion, s'appliqueront sans erreur sensible aux fluides naturels.
699. On distingue deux sortes de fluides, les liquides et les gaz ou fluides aéri formes.
700. Pression d'un liquide sur une paroi. — La pression au point M est la limite du rapport de la pression exercée sur l'élément w (jui comprend le point M à l'aire «, quand cette aire o) tend vers zéro en comprenant toujours le point M.
701. Egalité de pression en tous sens. — On admet comme un résultat de l'expérience ou comme une conséquence de la distribution uniforme des molécules des fluides, que la direction de la pression est toujours perpendiculaire à l'élément de surface o) sur lequel elle s'exerce.
Si, en un point quelconque de l'intérieur, on suppose une paroi plane solide, il y aura suV chaque élément de cette surface une pression toujours perpendiculaire à son plan. Il y a égalité de pression en tous sens pour un même point, c'est-à-dire que si Ton considère une surface infiniment petite co passant par un point M pris à volonté dans le fluide, la pression exercée par le fluide sur chaque face de l'élément co sera toujours la même, quelle que soit la position que l'on donne à l'élément &), en le faisant tourner autour du point M.
702. Equilibre d'un fluide incompressible. — Supposons un liquide fhcompressible contenu dans un vase
458 TABLE DES VROPOSITIOAS
polyédrique ABCDE. Plusieurs parois sont percées
d'ouvertures û, al^ ^'^•••î sur lesquelles sont ajoutés de petits cylindres ayant leurs arêtes perpendiculaires à ces parois. Si Foa imagine des pistons qui peuvent se mouvoir dans Fintérieur de ces cylindres, les forces P, P', P'^, .^. . nécessaires pour les maintenir, quand il y a équilibre, sont égales aux pressions exercées par le liquide contre leurs bases.
Concevons que Ton fasse mouvoir simultanément tous les pistons; soient /i, A', A'',. . ,, les espaces qu'ils parcourent, ces espaces étant regardés comme positifs ou négatifs, selon que les pistons entrent dans le vase ou en sortent. On a
PA^P'A'4.p"A'/^....=:o,
ce qui eàt l'équation des vitesses virtuelles dans cet exemple particulier.
