CORPS FLOTTANTS. — MESURE DES HAUTEURS PAR LE BAROMÈTRE
726. Equilibre des corps flottants. — Une section Fig. i86. ABC perpendiculaire aux arêtes
étant faite dans le prisme, DE étant le niveau du liquide, soient
CDE ABC "" '*'
r étant le rapport de la densité du prisme à celle du liquide,
CA = fl, CB=-^», AB = c, CK = //,CD = x, CEt=^,
on a
x/ = rab.
Si Ton nomme a et 6 les angles ACK et BCK, on a
x* — 7,hx cos a = /* — 7.hy cos 6 , a:* — 2/«cosa.x*-|- ^rhab cosS.j? — r*/i*ô* = o.
Il y a au plus trois positions d'équilibre pour lesquelles le sommet seul est plongé dans le liquide.
727. Le problème précédent revient à mener par un point donné K une normale h une hyperbole ayant pour asymptotes CA et CB.
728. Quand le triangle ABC est isocèle, on a valeur admissible à cause de r<^ i. Autre solution :
" . ■ ■ ■■ ■ ■ » ■ I I ■ ■ ■— ■■■1 ■ ^. ■ ■ — n Mj^MP ■ - 7
4û» — c' ij (^a' — C'Y — i6 ra'
admissible si Ton a
729. Le cas où deux sommets A et B du triangle sont immergés, se ramène au cas où un seul plonge dans le liquide.
730. Stabilité d'un corps flottant. — Un corps solide étant plongé dans un liquide, soit G le centre de
Fig. 187. gravité de ce corps et H celui
de la parlie immergée. Supposons que Ton écarte un peu le corps de sa position d'équilibre et que tous ses points reçoivent de peti les vi tesses . Soi t A' B' C D' la section faite dans le corps par le nouveau plan de flottaison;
le premier étant venu en ABCD.
Par le centre de gravité I de la section ABCD menons un plan AB"CD'', parallèle au plan horizontal A'B'C'D' et qui coupe ABCD suivant la droite AIC. Posons 6 = Fangle des deux plans ABCD, AB"CD'^ Ç = la distance du point I au plan A'B'C'D', p = la densité du fluide, M = la vitesse de la molécule dm, V = le volunae de la partie immergée, quand le copps est en équilibre; GH = a , £ = un infiniment petit du troisième ordre au
ET DES FORMULES PRliNCIPALES . 4^5
moins. Ou a
La constante c peut être supposée aussi petite qu'on voudra.
731 . Si le centre de gravité G du corps est au-dessous de celui du fluide déplacé H, l'équilibre est toujours stable.
732. Quand le point G est au-dessous du point H, si [l ou le moment d'inertie de l'aire ABCD par rapport à la droite AIC reste plus grand que Va à toute époque. Téquilibre sera stable. Il faut et il suffit que Va soit moindre que le plus petit moment d'inertie de la section ABCD, par rapport à toutes les droites qu'on peut y mener par le point I. Si fx devenait moindre que Va, ou ne peut rien affirmer relativement à la stabilité de l'équilibre.
733. Du MÉTACENTBE. — Soit S uu corps soHde flottant. Lorsqu'il est en équilibre, son centre de
Fig. i88. gravité G et celui H du vo-
lume de liquide déplacé sont sur une même perpendiculaire au plan de flottaison ABCD.
Supposons que ce corps soit symétrique par rapport à un plan vertical BLD, lequel contient alors la droite KGH. Imaginons qu'on dérange un peu ce solide de sa position d'équilibre, tout en maintenant vertical le plan BDG. Ce plan contiendra toujours le centre de gravité de la masse fluide déplacée. Le centre de gravité du fluide déplacé A'B'C'D'L est un certain point H'. Le point M où la verticale H'M rencontre la droite KGH est ce qu'on appelle le mètaccntre,
