Considérons la surface engendrée par la révolution

d*une courbe plane CD, tournant autour d'un axe Ox situé dans son plan. Prenons cette droite pour axe des abscisses et pour axe des ordonnées une perpendiculaire k Ox située dans le plan de la courbe.

Le centre de gravité de la surface est évidemment sur Ox. On n'a donc qu'à déterminer son abscisse OG = Xi. Soient M (x,y) et M' (x + dx, y-^dy) deux points infiniment voisins pris sur la courbe. On peut regarder la surface engendrée par la révolution de l'arc infiniment petit MM' = ds comme celle d'un tronc de cône dont Taire est alors anyds ; donc si S est la surface engendrée par CD, on aura

dS = TLizydsy d'où

= 2 TT I y ds.

D'ailleurs le moment de l'élément de surface ^S, par rapport à tiu plan zOy perpendiculaire à Ox, est '^'Rxyds-^ car x est l'abscisse du centre de gravité de Té-

54 COUKS DE MÉCASIQCE.

lément à an infiniment petit près ; le moment de la surface totale est Sxi : donc

r, = air I xjds.

84. Si Tare CD tournait autour de Taxe des j, en nomfie- 35. mant G' le centre de gravité de

'l la surface ainsi engendrée, on

FI J? aurait

S'XOG Maison a

xydU.

SXOG

don

S'xOG'zirSxOG,

relati<m qui fera tiourer rone des quatre quantités S, S', <Xï, OG', quand on connaitra les trois autres.

CBSTIS DE GEATnt D^ITBB ZOSB SPBÉEIQUE.

85. Soit CD un arc de cercle qui, en tournant autour Fiç. 36. ij^ Ox, engendre la zone dont

ou Teut aToir le coitre de gra- Tité. Posons

OA = tf, OB=*, OE = li, nous aurons

d'où

S = 2xr j'ds=iiic j R«Lc

S==2tR ^ — <r\

et ensuite

a Ja

donc

h -ir a

Ainsi, le centre de gra^fité d'une zone sphérique est sur le diamètre perpendiculaire aux deux bases et à égale distance de ces bases.

CEUTRE DE GKÀYITÉ d'uHE ZONE CTCLOÏDÀLE.

86. En prenant les axes comme au n^ 69, l'équation Fip. 37. ^^ '* cycloïde sera

d'où

ilx Ja as = — =-

Spc

/ ^--=r-«= i jrd{iispi:)=z ^y\pc — 2 i >Jxdjr

OU enfin

Si l'on veut obtenir l'aîre engendrée par l'arc CM, on aura S = o pour ar = o. On a donc

56 COURS DE MÉGAMIQUE.

donc

(2) S=r4irjv'«.rH 1^ (a — x)' 5—

Maintenant

Sx,= 2 7r ^ j jr ^.dx;

mais

1 y sjxdx= j yd f ^-^^J =3*/^'-^ — â / ^^ ^^ :=.'^xy s[x — — \ X sfcT—x dx = -xx^-+-2 / {a--xY dx 5- 1 [a^xY dx.

Eq effectuant ces dernières intégrations et déterminant la constante arbitraire par la condition que Sxi soit nul pour orso, on aura

i Sx, = ^ -Kxy ^Hx H Tffl' (a — xY

d'où l'on déduira x^.

87. Si Ton veut avoir le centre de gravité de la surface engendrée par la demi*cycloïde; il faudra faire

ce qui donnera

x=a, jr= — ,

S = 27ra* ( TT — ^ 1 ,

(loù

TT — ■;r

THÉORÈMES DE GULDIN.

88. Soient CD une courbé plane, l sa longueur ot Fig. 38. g ( JTi, /i ) son centre de gravité ;

y ^^ as étant la différentielle de cet

c,/^ arc, on a

Maintenant, si S est Taire de la surface engendrée face b révolution de CD autour de Ox^ on a

S=27r Ijrds;

on aura donc

S = 27rj, x/,

d'où l'on conclut ce théorème :

La surface engendrée par la réi^olution iVune courbe plane autour d^un axe situé dans son plan, a pour mesure la longueur de la courbe multipliée par la circonférence que décrit son centre de grai^ité.

89. Si la courbe, au lieu d'accomplir une révolution entière, ne tournait que d'un angle d, en appelant S' l'aire engendrée, on aurait

d'où

S'rr: 9

ÔJ../.

Or ôyi est Tare décrit par le point g ; on peut donc

58 COURS DE MÉCÀIÎIQUE.

dire aussi que : La surface engendrée par une courbe plane tournant d\tn angle quelconque autour d^une droite située dans son plan est égale à la longueur de la courbe multipliée par l'arc que décrit son centre de gravité,