Par exemple, soit un cercle de rayon a, tournant
SIXI£M£ LEÇOIV. 5C^
autour d'un axe situé à une distance CH = /* de son ^^' ^°- centre, nous aurons
/= 2 7rûr, \ =r ira',
et par suite
Si une ellipse dont les axes sont 2 a et ai tourne au- ^^^' ^'' tour d'un axe, situe dans son
plan à une distance h de son centre, on aura
"k = naby Yz=2n'ab/t,
93. Le théorème de Guldin relatif aux volumes est susceptible d'extension.
Si une surface plane se transporte dans l'espace, de ^^' 42. ielle sorte quun de ses points
restant toujours sur une courbe quelconque IK, son plan de^ meure constamment normal à cette courbe y le solide engendré par le moui^ement de cette sur^ face aura pour mesure l'aire de la surface, multipliée par la courbe que décrit son centre de gravité.
En effet, soient MO et M^O deux droites infiniment voisines suivant lesquelles le plan de la surface mobile rencontre successivement le plan osculateur de la courbe IK au point M. Les deux plans qui auront ces droites pour trace étant normaux à la courbe, se couperont sur une droite projetée en O et perpendiculaire au plan osculateur MM'O de la courbe au point M. Cette droite est l'axe du cercle osculateur et O en est le centre. Donc, quand la surface génératrice passera de la position qui correspond àOM, à celle qui correspond à OM', elle pourra être sup-
(io COURS DE MËClNIQtlE.
posée lournei' autour de Taxe projeté enO. Dès lors le volume du solide engendre par ce déplacement infinîm'cDt petit aura pour mesure l'aire de la surface mobile, multipliée par le petit arc de cercle que décrit le centre de gravita de cette surface. La même chose peut se dire de chaque élément de volume ainsi formé ; on voit donc bien que le volume total sera égal à l'aire génératrice multipliée par la courbe que décrit le centre de gravité.
Ou renurquera que le plan de la surface mobile reste toujours tangent à la surface développable formée par les intersections successives des plans normaux à la courbe directrice.
VOLUME DU cyliudee.
94. Soit ABCDun cylindre dont la section droite est Fie. i^. AB, coupé par un plan CD in-
cliné à ses arêtes. Soient XTaire de la base AB, et z, la disUnce du centre de gravité de la base supérieure à la base inférieure.
Je dis que le volume du cylindre ABCD est égal à Wx,.
En effet, soient Ox, Oy, Oz trois axes rectangulaires, dont deux, Ox^ Ojr, soient dans le plan de AB. En désignant par X l'àireCD et par m l'aire d'un de ses éléments infiniment petits, on aura (73)
^fl"
Soient ô l'angle des deux plans AB et CD, et w' la projection de u sur le plan AB, on aura
l'=;icosfl.
En multi|^nt l'égalité (i) par le facteur cosS, on aura
''sixième leçon. 6i
ou
Or, z étant la hauteur du centre de gravité de l'élément », zcû' est le volume du cylindre infiniment petit
W, et dès lors \ \ zts! est le volume du cylindre entier
ABCD. On a donc
(3) V = Vz,.
Ce qu*il fallait démontrer.
95. Le centre de gravité G' de la section droite AB est la projection du centre de gravité G sur le plan de la section droite.
En effet, soient J^i, /i, z^ les coordonnées du point G, etar^y, 5 o celles du point G'. On a
d'où Ton déduit, en multipliant par le facteur constant
cosfi,
on aurait de même
donc
^e qui démontre la proposition énoncée.
96. De là résulm que les centres de gravité.G, G', G'' de toutes les sections planes faites dans uii cylindre quelconque sont sur une même droite parallèle aux arêtes.
COURS DE MiCiHIQOB.
n peut en déduire que le volume d'un cyl "B 4V quelconque EFCD est éj
l'aire d'une section droite, tipliée par la dïsunce GG centres degravitédes deux 1 En effet, soient V, le vt ABCD, V, le volume ABf V le volume EFCD. En gnant par V l'aire de la si
droite AB, on aura
