SEULE INTÉGRATION
101. On peut obtenir par une seule intégration le Fîg. 48. centre de gravité d'un corps
lorsqu'il est décomposable en éléments infînîment petits, ayant leurs centres de gravité en ligne droite.
Considérons, par exemple, un segment d'ellipsoïde compris entre deux plans parallèles AL et BM.
Menons par le centre O dej l'ellipsoïde un plan zOy,
parallèle à ces deux plans ^ soient Oj^ Qz, deux diamètres conjugués de la section ainsi obtenue, et Ox le diamètre conjugué à ce plan diamétral. Le diamètre Ox passera par les centres de gravité de toutes les sections parallèles à zOy, puisque ces centres de gravité sont les centres de toutes ces ellipses.
Or 2a, 2 6, 2C étant les longueurs des trois diamètres conjugués, l'équation de l'ellipsoïde sera
.X* jr^ z'
On peut concevoir le segment ALBM comme fprmé d'une infinité de tranches infiniment petites, limitées par des plans parallèles à zOj, Soit PRP'R' une de ces tranches, telle que OP = a?, OP' = x-h dx. Le volume de celte tranche différera infiniment peu de celui d'un cylindre qui, ayant l'ellipse PR pour base, aurait pour hauteur la distance entre PR et PR'. Or Téquation de Tcllipse PRest
C' rt»
et par suite son aire est
JT^
nbc{ t ^ I sin ô,
d étant L'angle .-2 Oj^.- D'un autre côté, X désignant l'angle que le diamètPe Oaf fait avec le plan diamétral zOjTf dxsiuï. est l'épaisseur de la tranche^ le volume de celle tranche sera ddnc
•tt hc sin 0 sin > I i — — | dx.
Par suite, x ■= a, x = (3 étant les équations des plans AL, BM, le volume V du segment sera
7rZ>csinôsinA C '^ , . ,\ ,
68 COURS DE MÉCANIQIE.
ce qui donne, en intégrant,
^^)' ^= 37^ (3 a)(3«»-a'~ap— p^).
Maintenant le centre de gravité G du segment ALlîM est sur le diamètre Ox, et comme l'abscisse du centre de gravité de la tranche infiniment petite diffère infiniment
peu de x^
^csinOsinX, , .
TT — ia^ — x^)xdx
sera le moment de cette tranche par rapport au plan zOj et à la direction Ox. D'un autre côté, si OG = j:i, \Xi sera le moment du segment-. On aura donc
TT^csindsinX r^
ou
TT^csinO sin> ,^ \x, = ^-^5 (p.a')(2«»-«'-p'),
d- OÙ, en divisant par V,
4(3fl^— a^— ap~p»)
On doit remarquer qne Xi ne dépend ni des diamètres ai et 2C, ni des angles 6 et X, en sorte que cette formule donne immédiatement l'abscisse du centre" de gravité d'un segment sphérique dont le rayon est a et dont a et (3 sont les distances des bases *au centre de la sphère. ^ ^
CENTRE DE GRAVITÉ d'uN CORPS QUELCONQUE.
102. Supposons le corps rapporté à trois axes rectangulaires Ox^ Oy, Oz. Si.ron mène une infinité de plans parallèles au plan xOj, on partagera le solide en une
SEPTIÈME LEÇON. 6g
iniiûlté de tranches dont les bases seront parallèle^ à ce Fig. 49. plan ; en menant des plans
parallèles au plan zOx^ on décomposera chaque tranche en une infinité de petits
, filets prismatiques ayant
toutes leurs arêtes perpen- -^ diculaires au plan zOy^ et
enfin au moyen de plans parallèles au plan z Oy^ chacun de ces filets se trouvera partagé en une infinité de parallélipipèdes infiniment petits dans toutes leurs dimensions.
Soient M(x^y,z) et M'(j:-f-^, J-4-^jKi ^-^dz) deux sommets opposés d'un de ces parallélipipèdes infiniment petits. Son volume sera dxdydz et par conséquent, si V est le volume du solide entier, on aura
(i) V= j j j dxdydz.
Si le corps est homogène, cette intégrale triple pourra èlre considérée comme représentant le poids du corps. Si le corps n'est pas homogène, le poids de l'élément MM' sera représenté par p dxdydz et le poids du solide entier P par la formule
(2) P= / / / ^dxdydz,
p désignant la densité du corp$ au point (x, y, z) . On suppose que p est une fonction continue des coordonnées, fonction qui peut être considérée comme ayant sensiblement la même valeur dans toute l'étendue d'un élément infiniment petit.
Voici maintenant comment on devra effectuer Tîntégraiion indiquée. L'équation de la surface du corps donne, en général, pour un système de valeurs de x et dej, deux valeurs de z : soient /*(x, y) la plus petite, et ^(x^y) la plus grande de ces valeurs. On commencera.
no COURS DE MÉCANIQUE.
par chercher rinlég^'ale
en regardant xety comme des constantes.
Imaginons maintenant que, de Téquation de la trace sur le plan des xy d'un cylindre parallèle à Oz et circonscrit à la surface du corps, on lire
la première étant la plus petite et la seconde la plus
grande des valeurs de y qui correspondent à une valeur
attribuée à .r. En regardant x comme une constante,
on cherchera l'intégrale définie «
dr f pdz.
bnfin
étant les équations de deux plans parallèles au plan ^Oj , l'un mené par le point le plus rapproché, Tautre par le point le plus éloigné de ce plan sur la surface du solide, on aura
] djc 1 dy \ pdz.
103. Pour trouver maintenant le centre de gravité (^lîJTi^^i) ^^ solide, observons que xpdVy ypdW^ 7,pd\ seront les moments du parai léli pi pède MM' par rapport aux plans coordonnés, en regardant x^ jr^ z comme les coordonnées du centre de gravité de ce parallélipîpède. On aura donc, d'après le théorème des moments,
I Po;, =r f j j-rpdY, (4) i ?r,^ JC ÇypdW
Pr,r^ en z:.â\\
SBPTIJSMB LEÇON. Jl
Si le corps était homogène, le facteur constaDt p pourrait sortir du signe d'intégration et, en remplaçant - par V, on aurait
'^^ W'=fff
Xd\,
=ni
yz,= \ \ l zdv.
Les limites de ces int^rales sont les mêmes que pour Tintégrale qui représente le volume.
COURS DE XÉCAMIQl/'E.
VOLUME ET. CENTRE DE GRAVITÉ DES CORPS RAPPORTÉS A DES COORDONNÉES POLAIRES.
Coordonnées polaires. — Poids et yolnme d'un corps rapporté à des coordonnées polaires. — Coordonnées polaires du centre de gravité. —
Limites des intégrales qui entrent dans les foripules précédentes.
Application.
