Soit M(r, 0, ^) un point pris dans le corps

considéré. Décrivons dans le plan MOx et du point O comme centre deux arcs de cercle MI et LK, avec les rayons OM = r et OL = r 4- A/-, terminés à la droite OK telle que LOK=A0.

Si Ton imagine que le quadrilatère plan IMLK tourne autour de Oo: d'un angle A<p et vienne en FM'L^K', nous obtiendrons un petit solide MK^que nous prendrons pour l'élément du volume total. D'après le théorème de Guldin (90), MK' aura pour mesure l'aire IMLK multipliée par l'arc de cercle que décrit le centre de gravité G de cette aire. Or

IMLK ou bien

OKL — OMI = - (r-h ArVAÔ

1MLK= ( r-h-àr] ArAÔ.

D'un autre côté, si u est la perpendiculaire GH abaissée du point G sur l'axe Ox, l'arc décrit par le point G sera ^al à liA^. Mais le point G étant compris dans Tinté-

j4 COLR5 DE MÉCANIQUE.

rieur du quadrilatère IKLM, peut deTenir aussi voisin que Ton voudra du point M en prenant A 9. et A^ assez petits. Par conséquent, GH différera peu de la perpendiculaire MQ = r sin 0 abaissée du point M sur l'axe Ox : on aura donc

(i) a = rsin ô -i- a,

a désignant une quantité qui tend vers o en même temps que Ar et A9 ; et par suite

(2) AV = (rsine-f-a) (/"-f- - Arj ArAÔAr|».

Mais si Ton appelle p la densité du solide au point M, p + 6 sera la densité moyenne de Félément de volume AY, 6 devenant nul à la limite. En appelant AP le poids de cet élément, on aura donc

AP = (p-f-6)AV et par suite

(3) AP = (p H- 6) (rsinô-+- a) (r-H-ArjAr A9A^|/. De là on conclut

P = Ipr2sinôArAÔA^»-h27ArAÔA^*.

Or si'i'on suppose les accroissements Ar, A9, At{< de plus en plus petits, on a,

limlpr'sinôArAÔ A\|/^ fil pr^ sinB dr d Q U'^, Donc

(4) P= / i jpr'sinBdrdBd^,

relation que l'on aurait pu obtetiir plus rapidement par la méthode des infiniment petits.

Quand le corps est homogène, p est une constante qu'on peut faire sortir du signe d'intégration, et si l'on observe

que- est égal au volume V du cprps. on aura

(5) V= i i j r^smOdrdBd^.

COORDONNÉES POLURES DU CENTRE DE GRiVlTÉ d'uN CORPS.

108. En posant r/P = pr'sîn9r/r/70r/ip, un raisonnement analogue à celui que nous venons de faire nous donnera pour les moments du solide par rapport au trois plans coordonnés les intégrales

///-"•• fff""- fff""'

et comme ces moments sont aussi égaux à Po: j , P^j > P^i ^ on aura finalement, pour déterminer les coordonnées rectangulaires du centre de gravité solide, les formules suivantes :

(4) ^~ / / / pr'smQdr€lQd^,

Pjt, = l f j pr^sinQcosBdrdBd-^f

(6) ' Pj. = j j j pr^sïn^Bcos^drdBd^,

Pz, = 1 j I p/**sin»ôsin^|;^^rfGrf^p.

On obtiendrait ensuite les coordonnées polaires pi, 61, ^i , du centre de gravité à Taide des formules du n° 106.