LIMITES DES INTÉGRALES PRÉCÉDENTES
109. Quant aux limites de ces intégrales, il faut distinguer deux cas, suivant que l'origine des coordonnées <î8idans le corps ou hors du corps.
Dans le premier ras, i" on intégrera d'abord par raj>pori à r en regaixlant 0, ip, dO^ d^ comme des constantes,
j6 COi;&S DE MÉCAMQVE.
depuis r= o jusqu'à r:=f{9,^)^ Téquation polaire de la surface du corps résolue par rapport à r étaul
Ou aura ainsi le poids et le centre de gravité d'une pyramide infiniment petite ayant son sommet au point O et dont les quatre arêtes seraient les droites OL, OK, OL', OK' qui correspondent aux angles 0 et ^,
2^. On intégrera ensuite par rapport à 0 en regardant (p et d^ comme des constantes, depuis 0 = o jusqu'à 0 = tt, ce qui donnera le poids et le centre de gravité d'une tranche infiniment mince comprise entre deux plans infiniment voisins passant par Ox et correspondante un angle t|/.
3". Enfin on aura le résultat définitif en intégrant les quatre expressions trouvées par rapport à ^ entre les limites (|;=oett|; = 27r. D'après cela la formule qui donne P, pourra s'écrire
d^ I sinWO I pr^dr.
HO. Si le point O est extérieur, on intégrera d'abord,
par rapport à r, entre les limites
en supposant que l'équation de la surface, résolue par rapport à r, donne pour cette variable les deux valeurs
r=OA=r/(G, ^), r = OB = F(0, ^z).
Soient maintenant B' et b" les angles que les tangentes menées par le point O à la courbe d"interseclion de la surface et du plan MOx font avec Taxe Ox, On intéi^rera par rapport à 0 depuis 0' jusqu'à b" , Enfin, on intégrera par rapport à ^ depuis ^=cx. jusqu'à (j^ = (3, a et /5
\ éliiM les valeurs de (|^ correspondant à deux plans menés par Or, et tangents à la surface.
Si l'axe Ox passait par rinlérieur du corps solide, il faudrait intégrer par rapport à(|^dei{/ = oài|/ = 2 7r.
Enfin, dans tous les cas, on pourrait changer Tordre des intégrations ; mais les limites des intégrales ne seraient plus les mêmes.
APPLICATIOW.
111. Nous allons appliquer ks formules précédentes à la recherche du centre de gravité d'un corps homogène, terminé par deux surfaces sphériques concentriques de rayons a et i et par la surface d'un cône droit ayant son sommet au centre commun des deux sphères.
Prenons pour origine ce centre et pour axe des x Taxe du cône. Le centre de gravité sera évidemment situé sur celte droite. Nous n'aurons donc que la seule coordonnée Xi à déterminer au moyen des formules
Or on
J^ lit /» a r* o
0 Jo Ja
\ d^ j sinOcosdr/O i r^dr. o t/o */a
r' dr =Z ;; 5
don
I s\nBdB=i — cosa = 2sin' - a,
^8 COLRS U£ MÉCAJNK^LE.
Ou aura ensuite
r ' tir =
J' sîn^cosÔrr- I sin 2 9^0= - sin'a; donc
(4) Vx, = 7rsin'a 7 >
el, en divisant (4) par (3).
3 b' — a^ sin-a
sin* — a
OU
3 ^* — tf* I
Si rt = o et a = 90", ou trouve
Ainsi le centre de gravité d'une demi-sphère est situé à une distance du centre égale aux trois huitièmes du rayon, comme on le trouverait par la formule du n*^ 99.
NEUVIEME LEÇON. Ji)
