ATTRACTION DES CORPS
Loi de TaUraction. — Attraction d'une couche sphcriquc — Attraction de deux sphères. — Formules (générales. — Réduction des intégrales générales à une seule. — Propriétés de la fonction V.
LOI DE l'attraction.
H2. Tous les corps de la nature s'attirent mutuellemeut et l'intensité de l'attraction pour deux corps est proportionnelle aux masses ou quantités de matière de ces corps et en raison im^erse du carré de leur distance.
Pour éclaircir cet énoncé, supposons que deux corps de dimensions et de formes quelconques, ayant chacun une masse égale à l'unité, s'attirent mutuellement, et concevons que cette attraction ne varie ni en grandeur ni en direction dans toute l'étendue de ces deux corps, en sorte qu'elle soit la même entre deux points matériels a et 6 de ces deux corps que celle qui aurait lieu entre ces deux points s'ils étaient placés à Tuniiéde distance l'un (le l'autre. Appelons y l'attraction totale exercée par l'un (le ces deux corps sur l'autre. La loi énoncée plus haut signiGe que si deux points matériels ont des masses fx et /jl' et sont placés à une distance u l'un de l'autre, l'attraction
exercée par l'un d'eux sur l'autre sera mesurée par -^«
ATTRACTION d'uNE COUCHE SPH^RIQUE.
113. Considérons une couche homogène comprise entre deux sphères concentriques dont les rayons soient ^ etc, et cherchons à déterminer l'attraction exercée par
8o COURS VE MÉCANIQVE.
la couche sur un point matériel K extérieur à cette
couche.
p. -j Soit M un point matériel de
la couche ; nommons /x^ sa masse
et r, Oy ^ ses coordonnées pelai-
^ ^ res, en prenant le point O pour
pôlc^ pour axe polaire la droite.
Ox qui passe par le point K, et
enfin pour plan fixe le plan
xOy, Posons en outre
En nommant d\ l'élément de volume de' la couche, on a (407)
et par conséquent^ si p est la densité de la Substance dont la couche est formée, on a
il' = pdY^=pr''sïn9firdQd^.
L^attraction exercée par le point matériel M sur le point K aura pour expression (ii3)
c'est-à-dire
fyipr'smBdrdBd^
il 4. Les attractions exercées par tous les points de la couche sphérique sur le point K sont des forces appliquées en ce point et dont la résultante doit être dirigée suivant KO, car tout est symétrique autour de cette droite. Il suffira donc d'évaluer la somme des composantes partielles dirigées suivant KO. Or la composante suivant KO de l'attraction mutuelle des points M et K est
'^ cos
fait! fà*-\-u^ — r»\ MRO = tl.L± ( 2 Jir L )
NEUVIÈME LEÇON. 8l
00, en remplaçant yi' par sa valeur,
mais on a
m' = a^ 4- r' — aarcosÔ,
d'où
udu== arsinOdB.
Donc l'expression ci -dessus peut s'écrire
/liprdrdud^ I a' — r'\
H 5. Pour intégrer cette expression, on remarquera d'abord que ^ n'y entre que par sa diâérentielle. Car a et r sont indépendants de ^, En intégrant par rapport à ^, depuis zéro jusqu'à 2 7r, on aura donc
Intégrant par rapport à u, on aura d'abord pour l'intégrale indéfinie
116. Maintenant si le point K est situé entre le centre Fig. 54. et la couche sphérique, conmie
la distance
u =r V^r* -\^a^ — 2 ar cos 0
doit être positive et que les limites de Q sont zéro et tt, les limites correspondantes de u seront r — a et r -h a 5 mais
Il résulte de là qu'en multipliant par — —^ — et inté- 1. 6
8a COURS DE MÉCANIQUE.
graiit par rapport à r, on aura une constante pour l'inté- ^rale indéfinie, et par suite zéro pour Tintégrale définie. On a donc ce théorème ;
La résultante des attractions de tous les points matériels d'une couche sphérique homogène sur un point matériel placé dans son intérieur est nulle.
117. En second lieu, si le point K est situé à l'extérieur de la couche, après avoir intégré par rapport à (p, il faudra intégrer par rapport à {ideii = a — rà ii=a-f- r, valeurs extrêmes de a : or
1 fi-J ; — \du=za-\-r — fl-f-r — [a — r — r — a)'=^r\
par suite, en intégrant entre les limites i et c Texpressi on - — ^ — an on aura
On peut simplifier ce résultat, en observant que si m est la masse de la couche sphérique, p étant sa densité
et 5 7r(t"' — i') son volume, on a
d'où résulte que l'attraction exercée sur le point est
De là ce théorème :
L'attraction exercée par une couche sphérique homogène sur un point matériel extérieur à cette couche est égale à celle qu^ éprouverait ce point si toute la masse de la couche était réunie à son centre.
