SUITE DU MOUVEMENT DES CORPS PESANTS

MouTement d'un corps pesant lancé de bas en haut. — Mouvement d'un corps pesant dans un milieu qui résiste comme la vitesse. — Chute d'un corps dans le vide en ayant égard à la variation d'intensité de la pesanteur. — Cas particulier d'un corps place à une petite distance de la surface terrestre.

MOUVEMENT d'uN CORPS PESANT LANCÉ DE BAS EN HAUT.

202. Supposons maintenant que le corps considéré ait un mouvement vertical, mais de bas en haut, dans le milieu résistant. En conservant les mêmes notations,

— mg' — R

sera la force motrice du mobile, et sa force accélératrice

sera

puisque la pesanteur et la résistance du milieu sollicitent le corps en sens inverse de son mouvement. On a donc ici

dt ^ m

et si Ton pose encore

m k^ il vient

gdt kdç

Intégrant et déterminant la constante, par la condition que pour t= o an ait f^ = a, a étant la vitesse initiale

l44 COURS DE MéCAKIQLE.

du mobile, on a

et a o

(3) ^ = arclang- — arc tang y

203. Cette équation donne le temps en fonction explicite de la vitesse. Pour en déduire la vitesse en fonction du temps, posons

on aura

d'où

arctang- = /?, arctaiig-=y.

tang/i— Ung^

ung q = ^^.

H- tang/? tang —

sin Ç

Remplaçant ung q par - et tang ^ par , on trouve

cos~

a ces X- sm ^

fl sm^ -h A- cos^ A k

204. Pour obtenir x ou l'espace parcouru au bout du temps /, on observera que le numérateur de v multiplié par dl est, à un facteur constant près, la différentielle du dénominateur. Donc si l'on intègre et qu'on détermine la constante par la condition que l'on ait simultanément x-=.o et ^ = 0, ce qui revient à placer l'origine des abscisses au point de départ du mobile, on a

(5) .=,(^s.n-^ + cosl.).

SEIZIEME LEÇON. l45

205. Quand on veut exprimer x en fonction de (^, on fait usage de la formule

qui devient, en remplaçant (f par sa valeur (202),

prfp = -^g:-f.Ç')^

Int^rant et déterminant la constante , de manière que Ton ait à la fois a: = o et (^ = a, on a

206. Il y a un instant où le corps cesse de monter. Si 6 est le temps de l'ascension et h la hauteur la plus grande à laquelle parvient le mobile, on aura, en faisant <' = odans les formules (4) et (6),

tang h- = 19 o <>" ô = - arc tang j

Parvenu à cetteliauteur, le mobile commence à descendre, et si l'on appelle a' la vitesse qu'il possède lorsqu il lest revenu au point de départ, on aura, en faisant a: = A, M= a' dans la formule (8) du n° 199,

2 g p — fl

ou ^

il ^' -^ ^' jil >^^

0« a donc

l46 COURS DE MÉCANIQUE.

d'où l'on tire

^ Cette formule fait voir que a! est toujours moindre que a.

207. Pour déterminer le temps & de la chute du corps, on remplacera, dans la .formule (5) du n** 197,

"F = ' rrr'

if par al elt par ô', d'où Ton déduira

et si Ton nomme T le temps total que le mobile met à revenir à sa position initiale, on aura

T = Ô -h 0' ou

T=-^^arctangj-hll -^ j-

Les quantités a et g sont supposées connues ^ le temps T peut être obtenu par l'expérience : cette dernière relation peut donc servir à déterminer la constante k pour un mobile donné.

MOUVEMENT d'un CORPS PESANT DANS UN MILIEU QUI RÉSISTE