DE LA DISTANCE
218. Considérons un point matériel placé d'abord au p. point A où sa vitesse est nulle
et attiré par un centre fixe O, en raison directe de sa distancé à ce dernier point, que nous prendrons pour origine. Comme la force attractive tend à diminuer Tabsçisse variable x du point mobile, on a Téquation
(•) Âî =-"'*'
/i* étant la mesure de l'attraction exercée sur l'unité de masse du corps à l'unité de distance. Multiplions de part et d'autre par 2rfx, nous aurons
7,dxd*x ' .
dO *
d'où, en intégrant,
dx^
dx la constante étant déterminée par la condition que — ou
^ soit nulle pour x= a.
DIX-SEPTIÈME LEÇOH. l55
Comme la vitesse du mobile est négative quand il va dans le sens AO, on a
dxm — ndt ^à* —
ou
dx ndt=z^
^fl' —
Int^rant et déterminant la constante par la condition que Ton ait à la fois t=o^ x = a^ ce qui la rend nulle, on a
nt = arc ces -
ou
(3) x^=.a cosnt'y
et ensuite j
(4) P = — rtû siD/7<«
2i9. Lorsque le point mobile arrive en O, on a
X =1 o et nt := -j
doù
ir
Parvenu à ce point, sa vitesse est égale à — na.Le mobile dépasse donc le point O et continue sa route en vertu de sa vitesse acquise. Pour déterminer le point A' où il s'arrêtera, faisons i' = o, il en résulte nt = tt, d'où < = - et par
suite X = — a. Ainsi OA' = OA.
Arrivé en A' où il n'a plus de vitesse, le mobile se trouve placé par rapport au point O, comme il Tétait en A. 11 sera donc attiré avec une vitesse croissante dç A' jusqu'au point O où sa vitesse sera na, puis continuera sa route en vertu de sa vitesse acquise jusqu'en A, pour revenir de nouveau en O, et ainsi de suite.
Ainsi le mobile fera une infinité d'oscillations toutes
l56 COUilS DE MÉCASilQUE
égales entre elles et de même durée, de A en A ' et de A' en A.
220. On peut, comme dans le cas précédent (215), représenter par une construction géométrique la relation qui existe entre l'espace et le temps. Sur A A' {^fig* 76, n° 218) comme diamètre décrivons une demi -circonférence», Soit OM = :i:, et menons AIN perpendiculaire à AA^ Le triangle rectangle ONM donne
AN x-=z a cos — ;
mais
X =z a cos /!/, donc
AN = ant.
AN Ainsi — représentera le temps que le mobile emploie à
aller du point M aujfoEnt A.
MOUVEMEIiT d'un" POINT HEPOUSSÉ PAR UNCEIÏTRE FIXE EN RAISON DIRECTE DE LA DISTANCE.
221. Examinons maintenant le cas d'un point matériel repoussé par un centre fixe O, en raison directe de la distance.
Supposons qu'à F origine du temps le point matériel
Fig. 76. placé à une distance 0A= a
^i) A X du centre fixe soit animé
d^me vitesse dirigée vers le point O et représentée par
— . ni.
La force accélératrice, positive puisque la répulsion tend à augmenter Tabscisse du point M, étant représentée par n^x^ on aura
d'où l'on déduit, en multipliant par idx al intégrant^
dxY
dt
DIX-SEPTIEME LEÇON. l57
Maïs, pour € = o, on a — ou »^ = — /li, x^=z a\ donc d'où, en élimiiiairt la constante, On en déduit
ou ^
(3) «' = — /ïV^^4-6«— û».
On prend le signe — , parce que la vitesse est d'abord négative. En intégrant de nouveau et ayant égard autc circonstances initiales, on aura ;^ i
a-^-b OU
On lire facilement de cette équation
222. Examinons maintenant quelques cas particuliers. La formule
montre que la vitesse ne peut jamais être nulle, si l'on a i*]>a*. Dans ée cas le mobile atteindra Torigine lorsqu'on aura
, VF— 7'
valeur positive, puisqu'on a y^è* — a*<[ « H- Z^. Sa vitesse
étant alors — 'iisjb^ — a*, le mobile dépassera le point O, et il est clair qu'il se mouvra indéfiniment vers la gauche.
l58 COURS DE MÉCANIQUE.
Si Ton a i < a, la vitesse sera nulle lorsque Ton aura
ce qui correspond à un point placé entre O et A, et cette circonstance arrivera à une époque donnée par
Il est clair qu'arrivé au point B le mobile, repoussé pai;* Faction du centre fixe, commencera à se mouvoir vers la droite, et sa vitesse sera positive. Il faudra donc, à partir de cet instant, prendre la formule
Dans ce cas le mobile ne passera jamais par le point O, car la formule
jî -H \/x' H- b^ — a^
a donne pour x = o
, Jb' — a»
valeur imaginaire.
Enfin si Ton a & = a, les formules se simplifient, et
l'on a
u= — nx.
La première montre que l'on a ^^ = o pour a: = o ; mais la seconde ou la troisième donnant pour a: = o, f = oo , on voit que le mobile approchera continuellement du point O, mais n'y arrivera jamais.
DIX-HUITIÈME LEÇON
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DIX-HUITIÈME LEÇON
