DE LA VITESSE DANS LE MOUVEMENT CURVILIGNE

î227. Soit M(x^ y^ z) un point qui dëcril dans Tes-' p. „g pace une ligne courbe CMD.

Ce point doit être constamment sollicité par une force dont la direction change à chaque instant. Si au bout du temps t cette force cessait d'agir, le mobile prendrait, suivant une certaine droite MT, un mouvement uniforme, et c'est la vitesse de ce mouvement uniforme que nous sommes convenus d'appeler la vitesse du mobile au point M (155).

La projection M' du point M sur l'axe Ox se meut d'un mouvement quelconque, qui deviendrait aussi uniforme si la force qui sollicite le point M cessait d'agir.

228. Le mouvement du point M est déterminé par Jroîs équations

au moyen desquelles on peut obtenir la vitesse du mobile en fonction du temps. Pour le démontrer, nous distinguerons deux cas.

En premier lieu, si la force P qui sollicite le mobile est constante d'intensité et de direction, la projection de MR sur l'axe des x sera

t'At cos a ^ At ces A ,

a désignant l'angle que la direction de la vitesse fait avec l'axe des a:, et 1 l'angle que la force P fait avec ce même axe. On aura donc

Ax I P ,

— = M ces a H At cos A ,

At 2 m

DIX-HUITIÈME LEÇON. l63

et, en passant à ]a limite,

dx

(i) --— =t^ cos a.

. dt

Si les axes étaient obliques, on aurait, en décomposant la vitesse i^ en trois autres, /?, y, r, et la force P en trois forces X, Y, Z, suivant les axes,

^.rz=p^t-\ Ar', don -— =/7. '

Ainsi les composantes de la vitesse suwant les axes s obtiendront en prenant les vitesses des projections sur ces axeSy et Ton aura dans le cas des axes rectangulaires

djc (2) -7- — pcosa, ^ ' dt '

— — <> ces p ,

dz Jt~

d'où l'on déduira

dx^-^ dj^ + dz^ dt'

ds'

d'où

ds ' dt'

en désignait par s la longueur d'un arc comptée sur la trajectoire à partir d'un point fixe. Cette formule conviendrait encore si les axes étaient obliques.