Consid^ronsla surface engendrée par la révolution
d'une combe plane CD, tour-
riB-33. ,f n . .
nant autour d un axe Ox situe
dans son plan. Prenons cette droite pour axe des abscisses et pour axe des ordonnées une perpendiculaire à Ox située dans le plan de la courbe.
Le centre de gravite de la surface est évidemment sur Ox. On n'a donc qu'à déterminer son abscisse OG = x,. Soient M (x^y) et M'(x+ tix, j -i-dy) deux points infiniment voisins pris sur la courbe. On peut regarder la surface engendrée par la révolution de l'arc infiniment petit MM' = ds comme celle d'un tronc de cône dont l'aire est alors :tity d$; donc sî S est la surface engendrée par CD, on aura
(I) s = 2^Jrds.
D'ailleurs le moment de l'élément de surface dS, par rapport à un plan zOy perpendiculaire à Ox, est aitxydt) car x est l'abscisse du centre de gravité de
54 COORS DB MÊCiHIQrE.
l'élément k nn infiDÏment petit prèsj le moment de la surface totale est Sxt ■ (lonc
ryds.
Fli. 34.
84. Si l'arc CD toornait autour de l'axe de«j', en nommant G' le centre de gravité de la surface ainsi engendrée, on aurait
S'xOG' = 2x [icyds.
Mais on a
SX0G = 2ir
S' X OG' = S X OG, relation qui fera trouver l'une des quatre quantités S, S', OG, OG', quand on connaîtra les trois autres.
CEHTRB DB GRlVlTt d'uNB ZOnS SPHÉRIQDB.
8!S. Soit CD un arc de cercle qui, en tournant autour T\%.%i. de Oj:, engendre la zone dont
on veut avoir le centre de gra> vite. Posons
OB = b, OE =
nous aurons
Sx, = 2ir/ a3-rfï=:2ir/ Rj;<te = jrR (6'— a') :
donc
Ainsi, /e centre de gravité d'une zone sphèrique est sur le diamètre perpendiculaire aux deux bases et à égale distance de ces bases.
CEirmK DK CnlVITÉ o'dITE 7.0KE CYCLOÏDALE.
86. En prenant les axes comme au n° 69, l'équation Fie. 36. ^^ '^ cycloïde sera
d'où
dt.
:=: 2/ \x — 2 I dx\'a — X,'
Si l'on veut obtenir l'aire engendrée par l'arc CM, on aura S = o pour ar = o. On a donc
56 coons cB uécasiqde.
doDC
S*, = 2ir v'â ij^dx; mais
En cfiectuant ces dernières intégrations et déiermînant la constante arbitraire par la condition que Sxt soit nul pour a" = o, on aura
d'où l'on déduira x, ,
87. Si l'on veut avoir le centre de gravité de la surface engendrée par la demi-cjcloïde, il faudra faire
ce qui donnera
SIXIEME LEÇON
THÉORÈMES oe GULOtH.
88. Soient CD une courbe plane, / sa longueur et FiB. 3^. Si'^u.Xi) son cenlre de gravité;
D f/s étant la différentielle de cet
Maintenant, si S est l'aire de la surface engendrée par la révolution de CD autour de Ox, on a
d'où l'on conclut ce llicorème :
ifl surface engendrée par la révolution d'une courhe plane autour d'un axe situé dans son plan, a pour mesure la longueur de la courbe multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité.
89. Si la courbe, au lieu d'accomplir une révolution culière, ne lournaît tjued'un angle d. en appelant S' l'aiie engendice, On aurait
Or ^jt est l'arc dOcrîi par le point g : on peut donc
58 COURS DE UtCÀNIQDK.
dire anssî que : La surface engendrée par une courba plane tournant' d'un angle quelconque autour d'une droite située dans son plan est égale à la longueur de la courbe multipliée par Varc que décrit son centre de gravité.
90. Soit CC'D'D nne surface plane comprise entre deux courbes CD, CD', et deux droites CA, DB perpendiculaires AOxjsoienlG {x,,y,] le centre de gravi lé de cette surface, et "k son aire; on aura
FÎB. 38.
-i-y>^'-j{y'-y')dx.
les équations des deux courbes CD, CD' étant
Soit V le volume engendré par la révolution de l'aire X autour de l'axe Oj: situé dans son plan, on a
Ainsi, le volume engendré par la révolution d^une cure plane autour d'un axe situé dans son plan est égal a l'aire de la surface généraince, multipliée par la cirférence que décrit son centre de gravité.
9i. Si l'aire n'accomplissait pas une révolutioit entière, le volume engendré serait ^ga] à l'aire X multipliée par l'arc de cercle que décrit le centre de gravité de l'aire.
. Par exemple,
1 cercle de rayon a, tournant
sixtÈm LCçoR. 59
auioar d'nn axe situé à une distance CH = k de son Fig^Sg. centre, nons aurons
et, par suite,
S = 4n'flA, V = air'a'A.
Si une ellipse dont les axes sont aa et ai tourne au- Fij. 40. (Qup (J'un axe, situe dans son
plan i une distance h de son centre, on aura
93. Le théorème de Guldin relatif aux Toltunes est susceptible d'extension.
Si une surface plane se transpoite dans V espace de telie sorte qu'un de ses points restant toujours sur une
„. , courbe quelconque IK, son plan
demeure constamment normal à cette courbe, le solide exgendré par le mouvement de cette surface aura pour mesure Paire de la surface, multipliée par la courbe que décrit son centre de gravité.
En effet, soient MO et M'O deux droites inCniment voisines suivant lesquelles le plan de la surface mobile rencontre successivement le plan osculateur de la courbe IK au point M. Les deux plans qui auront ces droites pour trace étant normaux à la courbe, se couperont sur nnedroite projetée en O et perpendiculaire au plan osculatenrMM'Ode la courbe au point M. Celte droite est l'axe da cercle osculateur et O en est le rentre. Donc, quand la surface génératrice passera de la position qui corresponJ
fîo COURS DE HËCADIQVE.
à OM, k celle qui correspond à OM', elle pourra èlre supposée tourner autour de l'arc projeta en O. Dès lors le volume du solide engendré par ce déplacement infiniment petit aura pour mesure l'aire de la surface mobile, multipliée par le petit arc de cercle que décrit le centre. de gravité de cette surface. La même chose peut se dire de chaque élément de volume ainsi formé ; on voit donc bien que le volume total sera égal à l'aire génératrice multipliée par la courbe que décrit le centre de gravité.
On remarquera que le plan de la surface mobile reste toujours langent 3» la surface développable formée par les intersections successives des plans noi-maus à la couibc directrice.
