On peut obtenir par une seule intégration le
Fis. 17-
centre de gravité d'un corps lorsqu'il est décomposable en élémenls infiniment petits, ayant leurs centres de gravité en ligne droite.
Considérons, par exemple, un segment d'ellipsoïde compris entre deux plans parallèles AL et BM.
!Menons par le centra O de l'ellipsoïde un plan z O/,
SEPTIÈME LEÇON. €7
parallèle à ces deux plans ; soient O^, Ox deux diamètres conjugués de la section ainsi obtenue, el 0;r le diamélre conjugué à ce plan diamétral. Le diamètre Ox passera paL- les centres de gravité de toutes les sections parallèles à zOj; puisque ces centres de gravité sont les cenKes de toutes ces ellipses.
Or aa, 3&, 2C étant les longueurs des trois diamètres conjugués, l'équation de l'ellipsoïde sera
On peut concevoir le segment ÂLBM comme forme d'une infinité de tranches infiniment petites, limitées par des plans parallèles à zOj. Soit PRP'R' une de ces tranches, telle que DP =; x, OP' := x -H dx. Le volume de cette tranche différera infiniment peu de celui d'un cylindre qui, ayant l'ellipse PK pour base, aurait pour hauteur la distance entre PR et PR'. Or l'équation de l'ellipse PR est
et par suite son aire est
6 étant l'angle zOj, D'un autre côté, X désignant l'angle que le diamètre Ox fait avec le plan diamétral zO^, dxsiiiX est l'épaisseur de la tranche; le volume de cette tranclie sera donc
ff 6c sin e sin X f i -\ dx.
Par suite, x = ee, x = ^ étant les équations des plans AL, BM, le volume V du segment sera
68 COURS DE MÉClKtQUE.
te qui donne, en ititégranl,
.j^i v=î^:iiiii^(P-.)(3..-..-.p-p.).
Maintenant le centre de gravité G du segment ÂLBM est sur le diamètre Ox, et comme l'abscisse du cenirede gravité de la tranche infiniment petite dilïère iuGuiment . ^>cu du X,
fiçsinesln\
sera le moment de celte trancbe par rapport au plan zOy Kl à la direction Ox. D'un autre côté, si OG ^ Xi, VX| sera le moment du segment. On aura doue
itftcsin&sinl r^.
-x')xdz
d'oii, en divisant par V,
4(3«'-,'ap-p'J
On doit remarquer que x, ne dépend ni des diamètres Q.b et ac, ni des angles 6 et X, en sorte que cette formule donne immédiatement l'abscisse du centre de gravité d'un segment sphérïque dont le rayon est a et dont « et ^ sont les distances des bases au centre de la spVière.
CENTRE DE GBiVITË d"»JM CORPS QeELCOBQVE.
102. Supposons le corps rapporlé à trois axes rectangulaires Ox, Oj, Oz. Si l'on mène une Infinité de plans parallèles au plan xOy, on partagera le sotide eu une
; LEÇotf. 6g
infinité de tranclies dont les hases seront parallèles à ce planj eu menaDt des plans parallèles au plan zOx, on F'E- 48. décomposera chaque Iran-
clie en une infinité de peti is filets prismatiques ayant toutes leurs arêtes perpendiculaires au plan zOy, et y^ enfin au moyen de plans pa-
*> rallèles au plan zOy, cha-
cnn de ces filets se trouvera partagé en une infinité de parallélipipèdes infiniment petits dans toutes leurs dimensions.
Soient M(xyj; z) et M' {x + dx, j -i- dy, z ■\- dz) deux sommets opposés d"un de ces paralUlipipèJes infiniment petits. Son volume sera dxdjrdz, et par conséquent, si V est le volume du solide tout entier, on aura
(i) y=j.JJd^dxdz.
Si le corps est homogène, cette intégrale triple pourra 6lre coniîdérée comme représentant le poids du coi-ps. Si le corps n'est pas homogène, le poids de l'élément MM' sera représenté par pdxdydz et le poids du solide entier P par la formule
(2) r=ffjpdrdxd^,
p désignant la densité du corps au point {x,y, z). On suppose que p est une fonction continue des coordonnées, fonction qui peut être considéiée comme ayant sensiblement la même valeur dans toute l'éteudue d'un élément infiniment petit.
Voici maintenant comment on devra efTectucr l'intégration indiquée. L'équation de la surface du corps donne, en général, pour un système de valeurs de X et de y, deux valeurs de z : soienty(j-,7') la plus petite, et F {x,j') la plus grande de ces valeurs. On <
yo COURS DE HÉCiNlQink
par chercher l'intégrale
en regardant X ct y comme des constantes.
Imaginons maintenant que, de l'équation de la trace sur le plan des xy d'un cylindre parallèle à Oz et circonscrit à la surface au corps, on tire
U première étant là plus petite et la seconde la plus grande des valeurs de y qui correspondent à une valeur attribuée à x. En regardant x comme une constaote, on cherchera l'intégrale définie
/ rfr / P'fe.
Enfin
étant les équations de deux plans parallèles au plan zO^, l'un mené par le point le plus rapproché, l'autre par le point le plus éloigné de ce plan sur la surface du solide, on aura
(3) P= d^ d^l prf*.
103, Pour trouver maintenant le centre de gravité (x,,y„ Zi)du solide, ohservons que xptiV,ypd\, spd\ seront les moments du parallélipipède MM' par rapport aus plans coordonnés, en regardant x^ y, z comme les coordonnées du centre de gravité de ce parallélipipède. On aura donc, d'après le théorème des moments,
-IIP
ffdV,
SGPTltHE LEÇOH. TI
Si le corps était bomogèoe, le facteur constant p pourrait sortir du signe d'intégration et, en remplaçant ~ par V» on aurait
Les limites de ces intégrales sont les mêmes que pour l'intégrale qui représente le volume
cocus DE HâClNlQUE.
HUITIÈME LEÇON
VOLUME ET CENTRE DE GRAVITÉ DES CORPS RAPPORTÉS A DES COORDONNÉES POLAIRES.
Coordonnées polaire!. — Poids el lolurae d'un corps rapporté k des coordoTinéï* polaires. — Coordonnées polalrea du centre de griiitë. — Limiles des intégrales qui entreul dan* le* forniules préc«deuU». — Application.
COORDOMNÉES POL&IBE3.
i04. Soient « = MP, j = PQ, x = OQ les coordonnces rectangulaires d'un point M. Ce point peut être dé- Fig. -Î9. lerminé par sa distance OM = r
x| ' k un point fixe O, par l'angle
MOx = 9 que fait le rayon vecteur OM avec l'axe fixe Ox, enfia par l'angle MQP ^ i^ que le plan MOx fail avec le plan * fixe xOy. Les quantités r, 6, i^
sont dites les coordonnées polaires du point M.
On voit que les coordonnées polaires déterminent le point M par l'iniersection de trois surfaces, savoir une sphère décrite du point O comme cenire avec r pour rayon : un cône de révolution dont Ox est l'axe et dont la génératrice fait avec l'axe un angle B ; enfin un plan passant par Ox et faisant un angle <^ avec le plan xOy.
lOo. Les formules propres à passer des coordonnées rectangulaires x, y, z aux coordonnées polaires r, 9, ^ se tirent Immédiatement de la considération des triangles MOQ et MPQ, qui donnent
I3:=:rcosfl, jr^rsinflcosi, z = rsiDesini{<.
HtIITli:UB LEÇOH. yi
106. InTcrsement, pour passer du second système au premier, on aura les formules
langui = w» fl =
Fig. 5o.
POIDS ET VOLUME DES CORPS SÂPPOBTÉS A DES COOBDONNÉES tOLlIKES.
107. Soit M (r, 6, i^) im point pris dans le corps considéré. Décrivons dans le plan MOx et du point O comme centre deux arcs de cercle MI et LK, avec les rayons OM = r et OL = r -H ûr, terminés à la droite OK telle que LOK = AÔ.
Si l'on imagine que le quadrilaière plan IMLK tourne autour de Ox d'un angle Aij' et lOus obtiendrons un petit solide IVIK' que nous prendrons pour l'élément du volume total. D'après le théorème de Guldin (90), MK' aura pour mesure l'aire IMLK multipliée par l'arc de cercle que décrit le centre de gravité G de cette aire. Or
vienne en l'M'L'K', i
IMLK =: OKL — OMI = ou bien
ÏMLK = (r
-(r-Hir)'i
D'nn autre côté, si u est la perpendiculaire GH abaissée du point G sur l'axe Oj:, l'arc décrit par le point G sera égal à nAi|'. Mais le point G étant compris dans l'inté-
74 COURS DE KéCiniQVB.
rieur du quadrilatère IKLM, peut devenir aussi voisin que l'on voudra du point M en prenant A9 et Aifi asse? petits. Par conséquent, GH différera peu de la perpendiculaire MQ = r sin 6 abaissée du point M sur l'axe Ox : on aura donc (i.) B = rsine + a,
a désignant une quantité qui tend vers o en même temps que Ar et Ad; et par suite
(a) 4V= (/■sine + a)(r-»-i iAirieiiI-.
Mais si l'on appelle p la densité du solide au point M, P+-S sera la densité moyenne de l'élément de volume AV, S devenant nul à la limite. Eu appelant AP le poids de cet élément, on aura donc
iP=(p + e)Ay
et par suite
(3) aP = (p + e)(r8inB + «)fr-t--A/-J AriflA^.
De là on conclut, en désignant par y un inGniment petit,
Pz^ïpr'sineiT-Aei^i +Zy\r^6\^.
Or, si l'on suppose les accroissements Ar, A9, Ai]! de plus en plus petits, on a
liin£7ArAeAi|'^o,
lini£pr'sin9ArAeA4i= / / l pr'sinOdrdi/H^:.
Donc
(4) P= r r/pr'sine<frrfflrf^,
relation que l'on aurait pu obtenir plus rapidement par la méthode des infiniment petits.
Quand ie corps est homogène, p est une constante qu'on peut faire sortir du signe d'intégration, et 6i l'on observe
: LEÇON. ^a
que - est égal au volume V du corps, on aura
(5) y= f C frH\aBdrd9d^.
COORDOnnÉES polaires du centre de GEITITÉ n'vTI COKTS.
108. En posant dV = pr* sioO dr de d'il, un raisonnement analogue à celui que nous venons de faire nous donnera, pour les momenis du solide par rapport aux trois plans coordonnés, les intégrales
ffl-"- fif'""- fff""'
et comme ces moments sont aussi égauji à Par,, P/i, Pz,, on aura finalement, pour déterminer les coordonnées rectangulaires du centre de gravité solide, les formules suivantes :
(4) P= j Ç jpr'sioSdrdSd^,
t Vx,=z j I jpr'5inecosBdrd6d^,
(6) } Pj,= j f jpr>iin'SC0i^ilrd6d^,
f Pz, = j j jpr'sm'6%\n^ drdSd^.
On obtiendrait ensuite les coordonnées polaires p,, Oi,<i'tt du centre de gravité à l'aide des formules du n** 106.
