LIMITES DES IMTÉGRALES PRÉCÉDENTES
)09. Quant aux limites de ces intégrales, il faut distinguer deux cas, suivant que l'origine des coordonnées est dans le corps ou hors du corps.
Dans le premier cas, i" on intégrera d'abord par rapport à r en regardant 9, ^, dS, rfi/' connue '^f» constantes,
yft CODRS DE MÉC*NIQIE.
depuis r = ojusqn'à r=y"(0, ij-), l'équation polaire de la surface du corps résolue par rapport à r étant
On aura ainsi le poids et le centre de gravité d'une pyramide inSniment petite ayant sou sommet au point O, ci dont )es quatre arêtes seraient les droites OL, OK, OL', OK', qui correspondent aux angles d et ^.
•i" On intégrera ensuite par rapport à 9, en regardant ij< et f/if comme des constantes, depuis 6 =3 o jusqu'à S = n, cequi donnera le poidsetleccnlredegraTÎté d'une tranche infiniment mince comprise entre dcus plans infmiment voisins passant par Ox et correspondant à un angle ^.
3° EnGn, on aura le résultat déSnitif en intégrant les quatre expressions trouvées par rapport à if entre les limites 1^ = o et i/i = îti. D'après cela, la formule qui donne P pourra s'écrire
HO. Si le point O est extérieur, on intégrera d'abord, Hs Si. par rapport à r, entre les limites
en supposant que l'équation de la surface, résolue par rapport
/ ^ à r, donne pour cette variable
^ les deux valeurs
r= OA =/(B, 4), r = OB = F (fl, ^,).
Soient maintenant 0' et 6" k-s angles que les tangentes menées par le point O à la courbe d'intersection de la surface et da plan MOx font avec l'axe Ox. On intégrera par rap[)Ort à d depuis ô' jusqu'à W. Enfin, on intégrera par rapport à ^ depuis '^•=a jusqu'à i|i = (3, a et p
BL'ITItME LEÇON. 77
étant les valeurs de ^ correspondant à deux plans menés , par Ox, et taugents à la surface.
Si l'axe Oj: passait par liolérieur du corps solide, il faudrait intégrer par rapport à i|idei}'=^o à i|i = aji.
Enfin, dans tous les cas, on pourrait changer l'ordre de3 intégrations; mais les tioiites des intégrales ne seraient plus les mêmes.
111. Nous allons appliquer les formules précédentes à là lecherche du centre de gravité d'un corps honiogèoe, terminé par deux surfaces sphérîqucs concentriques de rayons a et i ei par la surface d'uu cône droit ayant son sommet au centre commun des deux sphères.
Prenons pour origine ce centre et pour axe des x l'axe du cône. Le centre de gravité *cra évidemment situé sur cette droite. Nous n'aurons donc que la seule coordonnée Xf à déterminer au moyen des tbrinules
(i) ^= r '''''/ ^'"^de C r'dr,
a:, = / (/-]./ sin9cos9(/0 / r'dr,
/ sinerffl — 1— cosa= asin'-o,
donc
Or, on a
^8 COUnS DE MÉClBlQtTE.
Ou aura ensuite
Xsinecose^- / tiD2e<;e = -sin'a:
donc
(4) Vj. = irsin'«— 71 ^, et, en dl visant (4) par (3),
3 b' — af sin'oi
' 16 6* — a* ~. ï stQ' - a.
ou
(5) ^' = 4F^r^^'=°^â"- Si fl := o et « ^ 90", on trouve
Ainsi, le centre de gravité d'une demi-sphère est situé à unu dislance du centre égale aux trois buitièuies du rayou, comme on le trouverait par la formule du u° 99.
HEWIÈMI! LEÇON. 79
NEUVIÈME LEÇON
