ATTRACTION DES CORPS
Loi de 1'sttraetion. — Attraction d'une coucbe sphérique. — Attraction de deux ephèrea. — Formules générales. — Réducliou des inlégrales géDétales a ane seule. — Propriéléa de la ronelion V,
H2. Tous les corps de la nalure s'attireni mutuellement, et l'intensité de l'attraction pour deux corps est proportionnelle aux masses oit quantités de matière de ces corps et en raison inverse du can-è de leur distance.
Pour éclaircir cet énoncé, supposons que deux corps de dimensions et de formes quelconques, ayant chacun uce masse égale k l'unité, s'attirent mutuellement, et concevons que cette attraction ne varie nï eu grandeur ni en direction dans toute l'étendue de ces deux corps, en sorte qu'elle soit la niême entre deux points matériels n et  de ces deux corps que celle qui aurait lieu entre ces AvMt points s'ils étaient placés à l'miilé de distance l'un de l'autre. Appclonsy l'attraction totale exercée par l'un de ces deux corps sur l'autre. La loi énoncée plus haut signifie que si dt-ux points matériels ont des masses p et ^' et sont placés à une distance n l'un (le l'autre, l'attraction
exercée par l'un d'eux sur l'autre sora mesurée par ■ ' -•
ATTRACTION d'vNG COUCHE SFBÉRIQUB.
113. Considérons une couche homogène comprise entre deux sphères concentriques dont les rayons soient b et c, et cherchons à déterminer l'aitraciion exercée par
8o COUKS DE HËCANIQDE.
la couche sur un poinl matt-ricl K exl^rîeur à cetu
Soit M un point nialériel de la couclie ; nommons fi' sa masse et r, 9, i^i ses coordonnées polaires, en prenant le point O pour pôle, pour axe polaire la droite Ox qui passe par le point K, et enfin pour plan Cxe le plan xOy. Posons en outre
En nommant dV réiément de volume de la coucbe, on a (107)
et par conséi]uent, si p est la densité de la substance dont la couche est formce, ou a
L'attraction exercée par le point matéiiel M sur le poiu t K aura pour expression (112)
/npr'iin9rtrd9d^
114. Les attractions exercées par tous les points de la couche sphérique sur le point K sont des forces appliquées en ce point, et dont la rcsuhanle doit être dirigée suivant KO, car tout est symétrique autour de cette droite. Il suffira donc d'évaluer la somme des composantes partielles dirigées suivant KO. Or, la composante suivant KO de l'attraction mutuelle des points M el K est
NEUVIÈME LEÇON. 8l
OU, en remplaçanl n' par sa valeur,
mais OD a
u'^a^+r^ — aarcosS,
d'où
Donc l'expressioD ci-dessus peut s'écrire y^fip rdrdit di/ [ «^ — /-'V
IIS. Pour intégrer cette espression, on remarquera d'abord que i|i n'y entre que par sa di0ércntielle, car » et r sont indépendants de <^. Eu intégrant par rapport à if, depuis zéro Jusqu'à 2Tt, on aura donc
'-^Hi'
Iiilcgrant par rapport à u, on aura d'abord pour l'intégrale indéGnie
110. Maintenant si le point K est situé entre le centre Fig. 53. et la couche sphérique, comme
doit être positive et que les limites de 9 sont zéro et ir, les limites correspondantes de u serout r — a et r-r^a- maïs
XI résulte de là qu'en multipliant par —~, — et inté'
SîïM — Mér.\. 6
8a COURS DE HËC&niQUE.
grant par rapport à r, on aura une coustanle pour l'intégrale indélinie, el par suite zéro pour l'intégrale déûnîe. On a donc ce théorème :
La résultante des attractions de tous les points matériels d'une couche sphérique homogène sur un point matériel placé dans son intérieur est nulle.
1 17. En second lieu, si le point K est situé à l'extérieur de la couche, après avoir iniégré par rapport à ij<, il faudra intégrer par rapport àudeu = a — rà u = a-\-r, valeurs extrêmes de u : or
par suite, en intégrant entre les limites & et c l'eipression "" ''^ - - dry on aura
On peut simplifier ce résultat, en observant que si m est la masse de la couche sphérique, p étant sa densité
et ^ n (c' — b*) son volume, on a
d'où résulte que l'attraction exercée sur le point est
De là ce théorème :
Vattraction exercée par une couche sphérique homogène sur un point matériel extérieur à cette couche est égale à celle qu'épi-ouyerait ce point si toute ta masse de ta couche était réunie à son centre,
