Dans le cas de la sphère )■ = o, la résultante est

ONZIÈME LEÇON. lo3

141. Si l'ellipsoïde éiait de révolution autour de Taxe ut, en supposant c =a et i]>a, on aurait X'=o, et des calculs analogues aux précédeals donneraient

THÉOaÈME CE

142, On peut démontrer synlliéiîqnement ce lliéorètne de Newton qu'une couche homogène d'une épaisseur (juelcoTUjue comprise entre deux surfaces ellipsoïdales semblables et semblablement placées n'exerce aucune action sur un point intérieur.

Concevons un c6ne infiniment étroit ayant son som-

FiE- 57.

met au point attiré O. Il intercepte dans la couche deux portions de volumes V, v' qu'on peut décomposiT en tranches ou troncs de cônes par des plans perpen- "* diculaires à l'arèle qq'. La

masse de la tranche mn, située à la distance Om ^ u du jMjint O, est ptjdu, a étant la section inn ; mais a = wu*, en nommant w la section faite dans le cône à une distance «lu point égale à l'unité. L'attraction de celle tranche sur le point Oest

En intégrant par rapport à u depuis u = Op jusqu'à = Oq, p et co étant des constantes, on voit que l'action

to4 COtlItS DE MÉCANIQUE.

de V est égale k f^fiia[Oq — Op) oufnpfùpq. De mënie, l'action de v'estf[if>(i)p'q'..Ces deux forces agissent en sens contraires et se détruisent, car pg =ffq', puis<^ue dans deux ellipsoïdes semblables les cordes parallèles à une même direction ont leurs milieux sur un même plan diamétral. Donc les actions exercées sur le point O par les divers éléraenis de la roucbe peuvent se décomposer en actions deUx à deux égales et contraires; donc elles se détruisent.

i43. Ce théorème est vrai pour une couche infiniment mince, et par conséquent pour une couche d'épaisseur Snie telle, qu'on puisse la considérer comme composée de couches inliniment minces, comprises entre des surfaces ellipsoïdales concentriques, semblables et semblablement placées , la densité ne variant que d'une couche à une autre.

Si le point O était extérieur, les deux actions exercées par les portions v et v' seraient encore égales, mais elles s'ajoutei'aient.

Cils d'uK point EXTËRIEUK. THÉOBkHE d'iVOUT.