Quand un point M se meut en ligne droite, l'es

Fig. 59. paceparcourupar cepoint,

o B M I ou plus généralement sa distance :e à un point fixe O pris sur cette droite, est une fonction du temps t écoulé depuis une époque convenue, en sorte qu'on a

cette équation est ce qu'on appelle Yéquation du mouvement.

IM. Un mouvement uniforme diffère d'un autre mouvement uniforme par la grandeur de l'espace constant que le mobile parcourt dans l'unîié de temps. Cet espace est ce qu'on nomme la ■vitesse du mobile. Ht donc l'on désigne par s l'espace parcouru dans le temps t et par a l'espace parcouru dans l'unité de temps, on aura

On voit par là que l'on peut encore définir la vitesse, le rapport de l'espace parcouru au temps employé à le par-

lia COURS DE MËCANIQrE.

Si l'on rapporte la posiiion du mobile à un poiut O fixe pria sur la droite parcourue et que l'on désigne par b sa distance OB à cette origine, à l'origine du temps, il est clair qu'on aura

(1) x=^at + b.

C'est l'équation la plus générale du mourement uniforme. Pour un autre point M' on aurait

Ces deux éqaations serviront à résoudre touti;s les questions qui concernent les positions relatives des deux points mobiles, à des épot^ues quelconques.

15â. L'équation du mouvement uniforme suppose qu'on ait adopté deux unités, l'unité de longueur et l'unité de temps. Le nombre qui exprime la vitesse dépend de cbaciine d'elles ; mais le rapport des vitesses dans deux mouvements uniformes reste invariable quand on change ces unités. En effet-, si l'unité de temps devient n fois plus grande, les vitesses qui étaient auparavant exprimées par d et a' le seront maintenant par na et /la':

or — ; = — - De même, si l'unité de longueur devient ' p fois plus grande, les vitesses auront pour expressions nouvelles - et — > et leur rapport ne sera pas changé.

Eu général, le nombre qui exprime la vitesse varie avec l'unité de longueur. Il est d'autant moindre que celte unité est plus grande. Ce nombre varie aussi dans le même rapport que l'unité de temps,

DE l'ikestib.

153. Il est évident que si un point matériel est en repos, il ne peut se mettre en mouvement de lui-même et

DOUZIEME LEÇON. III

sans une cause extérieure, car il n'y a pas de raison pour que ce point se meuve de lui-même daus un certain sens plutôt que dans un autre. En outre, si un point matériel a été mis en mouvement par des causes quelconques (que nous appelons da forces) et qu'ensuite il ne soit plus sollicité par aucune force, il devra se mouvoir suivant une certaine ligne droite, en conservant toujours la même vitesse, c'est-à-dire en parcourant sur cette ligne droite des espaces égaus en temps égaux. On voit bien d'abord que le point se mouvra en ligne droite, car il n'y a pas de raison pour qu'il s'écarte de la direction de son mouvement à l'instant où les forces ont cessé d'agir. 11 n'est pas aussi facile d'admc'.tre que sa vitesse restera la même ou que son mouvement sera uniforme, car il n'y aurait rien d'absurde à supposer que son mouvement se ralentisse peu à peu et cesse entièrement au bout d'un certain temps. Mais on observe qu'un corps, soumis à une impulsion et abandonné ensuite à lui-même, possèJu pendant un certain temps un mouvement sensiblement rectiligne et uniforme, et qui dure d'autant plus longtemps que les obstacles et les résistances qui s'opposent à ce mouvement sont moindres. Tel est, par exemple, un corps solide qui reçoit une impulsion sur un plan fixe horizontal très-poli, sur lequel il repose par une face plane et qui n'éprouve que peu de frottement. On est donc conduit à admettre que s'il était possible qu'un point matériel, après avoir été mis en mouvement par des causes quelconques, ne fût plus sollicité par aucune force et ne rencontiât aucun obstacle, son mouvement serait rectiligne et uniforme.

ISl. Ces propriétés consti tuent ce qu'on appelle l'i/iertie de la malièie.

I.'inertic de la matière consiste donc en ce que tout point matériel en repos reste en repos, tant qu'aucune cause extérieure n'agit sur lui, cl s'il a été mis en niuo-

lia CODES DE HÉCJLHIQUE.

veinent et qu'ensuite aucune force ne lui soil appliquée, son mouvement est naturellement rectilïgne et uniforme. Le mot inertie ne signifie pas que la matière soit incapable d'agir, car, au contraire, la plupart des forces dont nous observons les effets proviennent des actions que les molécules matérielles exercent les unes sur les autres, de sorte qu'un point matériel peut trouver dans un autre, mais jamais en lui-même, la cause de son mouvement.

VITESSE DIHS LE MOUVEMENT TiRl£.

15a. II résulte de ce qui précède que tout point matériel doué d'un mouvement varié rectilïgne ou d'un mouvement curviligne doit être sollicité par une ou plusieurs forces, sans quoi son mouvement serait uniforme. Comme l'espace parcouru par le mobile n'est pas toujours le même dans des temps égaux, la déSnition que nous avons donnée de la vitesse n'aurait pas de sens dans ce cas. Pour concevoir ce qu'on entend alors par vitesse, imaginous que la cause ou force qui produit le mouvement cesse d'agir à un instant déterminé : le point continuera à se mouvoir dans la direction d'une certaine droite et son mouvement sur cette droite sera uniforme. On appelle vitesse d'un mobile au bout du temps f, la vitesse du mouvement uniforme qui succéderait au mouvement varié si, à cet instanl, la force motrice cessait d'agir.

i56. Quand le mouvement n'est pas uniforme et rectilïgne, la vitesse varie à chaque instant et d'une manière continue, soii en grandeur, soît en direction. En effet, l'observation prouve qu'il n'existe pas de force qui puisse, dans un instant indivisible, changer brusquement la grandeur ou la direction de la vitesse d'un corps ou imprimer subitement une vitesse finie à un corps en repos.

On a pendant longtemps distingué deux espèces de forces : iesjbrces continues, comme la pesanteur, agissant sans iuterruplion sur le mobile pendant un temps fini, et

DOUZIEME LEÇON. Il3

les forces instantanées qu'on supposai! capables d'imprimer subitement à un corps en repos une viiesse linie ou Je ctianger ins (an tan émeut la vitesse ou la direction d'un corps en mouvemeul-, mais par l'observation attentive des phénomènes on reconnaît que ces dernières forces n'existent pas dans la nature, et qu'une force ne peut changer d'une manière sensible la grandeur et la direction de la vitesse qu'en agissant pendant un certain temps qui est quelquefois assez court pour n'être pas appréciable. On s'accorde aujourd'hui à n'admettre que des forces continues.

157. Soit M un point matériel qui se meut, d'un mouvement varié, sur une droite Ox. Appelons x la dis- Fie. 60. tance OM de ce mobile à

o M M' un point quelconque de la

** * direction 0:c, et ( le temps

compte à partir d'une époque quelconque, temps au bout duquel le mobile est en M; soit v la vitesse inconnue qu'il possède à cet instant. Nous allons faire voir que

On peut d'abord démontier ce théorème par la considéra^ tiou des infiniment petits. En ellet, supposons le mobile arrivé en M au bout du temps t. Pendant l'intervalle de temps înCuiment petit dt qui succède au temps t, le mobile parcourt l'espace infiniment petit MM'^ dx, et sa vitesse varie înfinimenl peu (156), de sorte qu'on peut regarder le mouvement du mobile de IVl en M' comme uniforme. On a donc

158. On peut établir rigoureusement celle formule par la méthode des limites. Supposons qu'après le temps ( le mobile parcoure pendant l'intervalle de temps A(

StuBu. — liée., L 8

Il4 ' COritS DE MÉCANIQUE.

l'espace MM' = Ax. On pourra toujours prendre le temps At assez court pour que, pendant ce temps-là, la vitesse du mobile soit continuellement croissante ou décroissante. Supposons-la croissante : v étant la vitesse du mobile au point M, désignons par v' sa vitesse quand il arrive au point M'. L'espace ûx parcouru par le mobile pendant le temps At doit être évidemment plus grand que l'espace vAt qu'il parcourrait s'il se mouvait uniformément pendant le temps Ac avec la vitesse c qu'il a au commencement de ce temps, puisque i^ est sa plus petite vitesse pendant le temps At, Ensuite Ax doit être plus petit que l'espace f' At que parcourrait le mobile s'il se trouvait avoir la vitesse constante (^ qu'il a au bout du temps At et qui est sa plus grande vitesse.

On a donc

d'où

Si At tend vers zéro, v' se rapproche indéfiniment de v qui ne change pas ; — se rapproche donc aussi indéfiniment de y, de sorte que Ton a

A^ de

159. Jusqu'ici nous n* avons pas considéré le sens du mouvement. Or le point peut se mouvoir dans le sens Ma: ou dans le sens contraire. Mais dans l'un et l'autre cas la formule

donnera la vitesse du mobile, pourvu que l'on convienne de regarder comme positive la vitesse du mobile lorsqu'il va dans le sens des abscisses positives, et de la regarder comme négative dans le cas contraire; car le rapport ■—

; LEÇON. 1 1 s

est positif dans le premier cas, négatif dans le second, et il en est de même de sa limite — ■

. 160. La Yelatiou v:= — montre que si est l'équation du mouvement, on aura Si l'équation du mouvement était de la forme

on aurait

__ rft

dx 161. Réciproquement, si l'on donne l'équation

une simple intégration donnera l'équation du mouvement recliligiie du mobile, savoir :

On déterminera la constante c en exprimant que le mobile a une position donnée à une époque donnée.

TREIZIÈME LEÇON