DE L'ACCÉLÉRATION
)u raouïemont uniformémanl varié. — Principe dei mauvements reUtilS.
CoTDpnraiaon des fortas d'après 1«s mouYcmen ta qu'elles impriroeat
gui points motériels. — Do l'accéléra lion daiu un mouTement re«liiigne quelconque.
DU MOIJVEMEBT DMIFORMÉMEHT VAItlÉ.
102. Soit un point matériel M qui se meut sur une fig. 61. droite Ox de telle sorte que
, , . sa vitesse v croisse proportionnellement au temps t, h partir du moment où le mobile était en un point donné A. Soit g l'accroissement constant de la vitesse pour chaque unité de temps. Le point O étant pris pour origine, soient OA ^è l'abscisse du mobile à l'époque initiale, et OIVI = .r son abscisse après le temps t. Eu appelant a la vitesse du mobile au point A, on aura (1) v=^a-\-gt
ou
dx^adi •*■ gt dt;
on a donc, en intégrant,
Or pour ( = 0, on doit avoir j: = 4; donc l'équation du mouvement est
Le mouvement représenté par cette équation est dit miforinémeitl vaiié oa accéléré.
TREIZIEME LEÇON. II y
163. Si l'on place le point O en A, c'est-à-aire si l'on compte les espaces à partir du point où se trouvait le mobile à l'origine du temps ; si de plus on suppose = 0, on aura
Ces deux équations sont celles qui lient l'espace, la vitesse et le temps dans la cliute des corps pesants qui tombent dans le vide. L'observation donne à Paris g ^9", 80896 en prenant la seconde pour unité de temps. Il eu résulte que tout corps pesant parcourt dans le vide, dans la première seconde de sa cbute, jg ou 4'°)9o448*
PIIINCI1>E DES ICOVTBHBNTS KELAT1F9.
164. Il existe une relation entre l'intensité de la force qui sollicite un point matériel et la variation de vitesse quecette force produit. Cette relation se déduit d'un principe qu'il ne parait pas possible de démontrer à l'aide du seul raisonnement, mais auquel on a élé conduit par une multitude d'observations et d'expériences, principe qui i^st vérifié par l'accord constant des conséquences qui s'en déduisent avec les phénomènes observés. Ce principe consiste en ce que si des points matériels M, N, P... je
Fig. 61. meuvent dans V espace suivant
a des droites parallèles, avec une
^ vitesse constante ou variable,
X<* mais qui sait la même pour tous
** à chaque instant, de sorte qu'ils
paraissent ne pas se déplacer les uns par rapport aux autres, si l'un des points, M par exemple, vient à éH-e sollicité par une certaine force, le mouvement relatif du point M à l'égard des autres points sera le même que le mouvement absolu qu'aurait ce point M si le mouvement commun n'existait pas et que le point M parlant du repos fût encore sollicité par la même force.
110 CO0HS DE HÉCtNIQuÉ.
C'est ainsi que sur un bateau transporte d'un mouvement rec(iligne et uniforme, les mouvements relatifs que nous imprimons aux corps transportés avec nous sont les mêmes que si le bateau était en repos.
Mais celle loi de ta nature ne peut être soumise à aucune eitpérience directe et rigoureuse. Elle est vérifiée pat l'accord des conséquences qu'on en tire avec les faiis observés, surtout en Astronomie.
16S. 11 résulte d'abord de ce principe que si un point maténel animé d'une vitesse acquise vient à être sollicité par une force dirigée dans le sens même de son mouvement, cette force lui communiquera, après un temps quelconque, un accroissement de vitesse précisément égal à la vitesse qu'elle lui imprimerait s'il pariait de l'état de repos.
En effet, soit un point matériel M se mouvant uniformément sur une ligne droite avec une vitesse v. Dans un temps quelconque B, succédant aa temps t, il parconrra un espace v6 si aucune force n'agit sur lui. Mais supposons que, pendant le temps 0, il vienne à être sollicité par nne force P dans le sens de son mouvement. Désignons par I l'espace que celle force ferait parcourir an point Rf s'il parlait du repos, et par u la vitesse qu'elle lui int-
Alors le point M, animéde sa vitesse acquise i^et solliciié en outre par la force P, parcourra pendant le temps 6 un espace égal à f 9 + J. Car si l'on considère d'autres points ■ sur la même droite Ox ou en dehors, se mouvant uni for tnément avec la vitesse y, chacun d'eux parcourra dans le temps d l'espace («9. Or, en vertu du principe des mouvements relatifs (i6i), le point M, auquel seul est appliquée la force P, doit, au bout du temps 0, précéder les autres points dans le sens du mouvement d'une quantité égale l'i l'espace ^ que la force lui ferait parcourir s'il était d'abord
TREIZltHE LEÇON. Iig
en repos. Le point M parcourra donc l'espace cfl-H^ dans le temps 3, et sa vitesse sera
Ainsi la vitesse v se trouve augmentée par l'action de la force P de la quantité u, c'est-à-dire de la vitesse que la force P imprimerait, après le temps 9, au mobile pria d'abord à l'état de repos.
On voit de même que si le point mobile, auimé d'une vitesse v, est scUiciLe par la force P en sens contraire de son mouvement, sa vitesse diminuera de la même quantité u et deviendra c — u au bout dti temps 0, Ainsi le changement de vitesse produit par une force qui vient solliciter un point en mouvement est indépendant de la vitesse précédemment acquise.
EFFET o'uflE FORCE CONSTANTE SOR W FOIHT MATÉRIEL.
166. Supposons maintenant qu'une force P, d'intensité constante, agisse d'une manière continue sur un mobile. Il résulte de ce qui précède qu'elle devra augmenter on diminuer sa vitesse dequantités égales en temps égaux. En effet, soit u la variation de vitesse produite par cette force dans un premier intervalle de temps d, f -H u sera au bout de ce temps la vitesse du mobile. Mais au bout d'un second intervalle de temps égal à 9, sa vitesse devra être v-\-u-i-u ou c-t-au; par la même raison, au bout d'un troisième intervalle de temps ô, sa vitesse est v + iu, et ainsi de suite.
Soit a la vitesse que possède le point mobile à l'instant où la force commence à agir sur lui, et soit g la vitesse que la force imprimerait à ce point au bout de l'unité de temps, s'il était d'abord en repos. Alors le mobile, an ■ bout du temps/, aura la vin'sse a-i- gt ou a — gt, suivant que la force constanic agira dans le sens de la vitesse
lia conns de hécaniqcb.
initiale a ou en sens contraire. Le mouvement du point
est donc uniformément varié (162),
COMPARAISON DES FORGES, d' APRÈS LES MOUVEMENTS qu'elles IMFBlHKtJT ATI MÊME POINT MATÉRIEL.
167. Nous n'avons considéré qu'une seule force agissant sur le point M. Supposons maintenant que ce mobile, déjà animé de la vitesse c, vienne au bout du temps ( à être sollicité dans le même sens pendant le temps 6, par deux forces P et P' qui, en agissant séparément, feraient parcourir à ce point, pris à l'étal de repos, des espaces Ç et l' pendant le temps et lui imprimeraient des vitesses
Imaginons que de la position M partent à la fois deux points matériels animés tons deux de la vitesse v, mais l'un étant soumis simplement à l'action de la force P et l'autre à l'action simultanée des forces P et F'. Le premier parcourra dans le temps 6 l'espace vQ h- ^, et, d'après le principe (164), le second aura sur le premier une avance de ^'. De là il suit que f6-h^-¥-^' est l'espace parcouru par le point matériel M qui, déjà animé de la vitesse c, est sollicité pendant le temps ô par les deux forces P Cl P'. Donc au bout de ce temps sa vitesse sera dl d^ ,
Ainsi le changement de vitesse produit sur un mobile par l'action simultanée de deux forces est indépendant de la vitesse acquise et est égal à la somme dos vitesses qu'aurait eues séparément le mobile si, pris à l'état de repos, il avait été tour à tour soumis à l'action de chacune des forces P et P'.
On verrait de même que si les forces P etP' agissaien:
rnEIZlËME LEÇON. 131
en sens contraire, le changemeni de vitesse dans le temps 9 serait ëgai à u — u'.
168. Cela posé, il est facile de dômoiilrer que deux forces d'intensités constantes sont entre elles comme les changements de vitesses quelles peuvent produire séparément pendant le même temps sur un même point matériel.
En effet, supposons qu'une force/ agisse pendant un temps 6 sur un mobile dont la vitesse acquise est f. Elle fera subir à ce mobile un accroissement de vitesse A. Soit k' la variation de vitesse qu'éprouverait le point pai' l'action séparée d'une autre forcey'; si y et/' agissent simultanément, le changement de vitesse sera A + A' (167). Donc si y =/, on aura ft + A' = aA. Ainsi une force 2/ produira un changement de vitesse égal à ifa, de même, une force 3/ produira un changement de vitesse égal à ' 3A, et en général une force n/ produira un changement de vitesse égal à nk.
Soient maintenant P et P' deux forces d'intensité constante, et soient u et u' les changements de vitesse qu'elles produisent sur un même mobile pendant un temps 6. Je dis qu'on aura
En effet, si les forces P et P' sont entre elles dans un rapport commensurable, soît/îeur commune mesure et
P = «/, P' =.«'/, n et n' étant deux nombres entiers, de sorte que l'on ait
Si A est le changement de vitesse que produirait la force/
jaa COUaS DE HÉCIBIQUC.
d'où
Si les forces P et P' n'ont pas entre elles un rapport commetisurable, je dis que l'égalité précédente aura encore lieu.
En effet, divisons la force P en n forces égales kf, de sorte que
en désignant par k la vitesse que produirait la force f, on aura
a = nk.
Si/est contenu n' fois dans P', on aura
, P' a' , n' n/+\ Uonc les rapports — et — tombent entre — et ^
et, comme ces derniers peuvent différer d'aussi peu qu'on voudra en prenant n suffisamment grand, oa eu conclut que
Ainsi des forces d'intensités constantes sont entre elles comnw les changements de vitesses qiC elles font subir à un même point matériel, quand elles agissent séparément sur lui, pendant le m^me temps
