CAS PARTICULIER OU LA RÉSISTAKCE DU MILIEU DEVIEHT MULLE
201 . rious avons vu que la résistance du milieu avait pour expression
Il suit de là qu'en faisant ft^ec, on a R^o. Celte hypothèse doit donc faire retrouver les lois de la chute des corps pesants dans le vîde. Mais comme les formules se piésenteut alors sous une forme indéterminée, nous
SL —€L tillons remplacer dans ces équations e et e par leur
développement en séries conver-genies. Or on a
fr S' fi''' ?'''
l44 COURS DE IfÉCAMQOK.
d'où l'on déduit
SubstituaQt ce résultat dans l'équation
et faisant les réductions, on trouve pour A =: co Maintenant l'équation
devient par la substitution
Si l'on développe 1 1 i-H ^-yj- -+-...} en série, on aura
a étant la somme des termes qui s'évanouissent pour /• := 00 . Donc à cette limite on a
SEIZIÈME LEÇOK> l45
SEIZIÈME LEÇON
SllTE DU MOUVEMENT DES CORPS PESANTS.
HoQTenieiit d'un corps peaaal lancé de bas en haut. — MoaTcment d'un corpi p*9aDt dam qd milieu qui résiste comme la Titease. — Chute d'un corps dans le vide en ayant égard k la variatiou d'ialensité de ta pesaDteur. — Cas particulier d'un corps placé ï une petite distance de la lurrace terrestre.
HOUVEUENT d'uN CORPS PESANT LANCÉ DE BAS EM HAUT.
202. Supposons maintenant que le corps considéré ait un mouvement vertical, mais de bas en haut, dans le milieu résistant. En conservant les mêmes notations. — mg — R
sera la force motrice du mobile, et sa force accélératrice sera
puisque la pesanteur et la résisiancc du milieu sollicitent le corps en sens inverse de son mouvement. On a donc ici
et si l'on pose encore
il vient
gdt i- de
Intégrant et déterminant la constante, par la condîtîon
que pour t = o on ait v ^ a, <i étant la vitesse initiale
STtaa.— iléc, 1. lO
l46 CODBS DB MiClNIQDE.
du mobile, on a
(3) y = arctang j — arcung--
203. Celte équaiioii donne le temps eri fonction explicite de la vitesse. Pour en déduire ta vitesse en fonction du temps, posons
arc lang -r =p, arc tang j = ?t ou aura
et
Remplaçant tangy par ^ et tang j pai
Xcos^
20i. Pour obtenir x ou l'espace parcouru au bout du temps t, on observera que le numérateui* de v multiplié par dt est, à un facteur constant près, la difTérentielle du dénominateur. Donc, si l'on intègre et qu'on détermine la constante par la condition que l'on ait simultanément j: = o ei t = o, ce qui revient à placer l'origine des abscisses au point de départ du mobile, on a
„ea-,..t'\.
SEIZIÈME LBÇOS. 1^7
205, Quand on veut exprimer x en fonction de c, on fait usage de la formule
qui devient, en remplaçant (f par sa valeur (202),
oa
-iqrTT = =?''■-■
Intégrant et déterminant la constante, de manière que l'on ait à la fois x:=o et v=z a, on a
206. II y a un insianl où le corps cesse de monter. Si 6 est le temps de î'ascension et h la hauteur la plus grande à laquelle parvient le mobile, on aura, en faisant f=o dans les formules (4) et (6),
langÇ^^, d'où e^^arctanej
Parvenu à cette hauteur, le mobile commence à descendre, et si l'on appelle a' la vitesse qu'il possède lorsqu'il est revenu au point de départ, on aura, en faisant x = h, v=^a' dans la formule (8) du n° 199,
On a donc
d'oà l'on tire
Celte formule fait voir que a'est toujours moindre que a. 207. Pour déterminer le temps 6' de la chute du corps, on remplacera, dans la formule (5) du n° 197,
cpar a' etï par 9
et si l'on nomme T le temps lolal que le mobile met à revenir à sa position initiale, on aura T = e + 9'
arc taug t + 1 -
Les quantités o et g' sont supposées connues ; le temps T peut être obtenu par l'expérience : cette dernière relation peut donc servir à déterminer la constante A pour un mobile donné.
MOUVEMENT D OH CORPS PESANT DANSCH MILIEU QCI DÉSISTE COMME LA VITESSE.
208. Quand le mobile possède une très-petile vitesse, on peut regarder la résistance du milieu comme proportionnelle à cette vitesse. Si le corps descend, il faudra poser
dt~^ k ou (.\ gdt J^
Intégrant et déterminant la constante par la condition
SEIZIEME LEÇon.
qu'on ait à la fols f = o, c = o, on a
d'où
Multipliant par dt et intégrant,
..-?(,-rî).
la constante étant déterminée par la condition qne x = o pour t ^ o.
HOUVEMEHT d'uN COBPS DÉNUÉ DE PESANTEITK DAHS UN MILIEU QDI DÉSISTE COMME LA KACINE CARDÉE DE LA VITESSE.
209. Ce cas est intéressant, parce qne le mobile (iuit par s'arrêter et que celte circonstance répond à une solution particulière de l'équation dilTérentielIe.
La résistance du milieu, seule force qui sollicite te mobile, agissant en sens inverse du mouvement, on aura
Comme l'unité de vitesse est arbitraire, on peut la choisir de telle sorte que a^a. Alors l'équation précédente revient à
Intégram et supposant v=ia pour ï ^ o, on aura
on
De cette équation on déduit
<ir = {^/a — iftit.
l5o COVBS DE MÉCÏNIQVi:.
d'où l'on lire, en intégrant et supposant x^o pour
210. La formule (3) fait voir que si t augmente en restant moindre que ^, c diminue, et que i' = o pour
I = ^ ; on a en même temps x = — = — Ainsi le mobile
la force accéléralrice est nulle en ce moment, le corps restera iudéûniment en repos. Cependant les formules (3) et (4) ne conduisent pas à celte conséquence; car c ctx varient pour f^y/a. Mais, si l'on remonte à l'équalion (i), on voit qu'elle est satisfaite par f =: o, que! que soit d'ailleurs t. Celte solmion particulière s'applique aux cas oàt^ija; maïs elle ne peut s'appliquer au cas où l<^ \Jay car au moment du départ la vitesse du mobile est a et non o. Ainsi, quand on a f <^ \/a, on doit appliquer les formules (3) et (4)i et la solution particulière quand on a i^\f^-
CHVTE n'uN CORPS Di»S LE VIDE EN ATAKT ÉGAItD [ DE Ll PESANTEOR.
