Si l'on remplace v par ^ dans l'équation
on donne aux radicaux le signe -4-, parce que )a vitesse -r doit être positive. Pour intégrer on écrira
, (-0 — 3-|i/i —adx
donc
On n'ajoote pas de constante, parce qu'on doit avoir j: = o pour 1 = 0.
âJ5. Cette relation entre t'espace et te temps peut Fie. 7^- ^tre représentée par une V. courbe. Menons Ay perpendiculaire à AO, ei OD parallèle à Aj'. Imaginons qu'une circonférence ayant ÂO pour diamètre roule sur OD, te point A de celte circonférence engendrera une cyctoïde AND, dont Tëquation différenlietle.
SEIZIÈME LEÇON
par rapport aux axes Oy et Ox, sera
OU
Or le second membre est égal à W ^^ (/( ; on aura donc
a et par conséquent
^='\/? «" •=7\fïi-
Le temps employé par le mobile à parcourir Pespace AM est donc proportionnel à l'ordoonée correspondante de la . cycloïde.
CAS PARTlCULICn d'dN COBFS PLACÉ A tlHE PETITE DISTAHCB DE LA SURFACE TEnitESTBE.
âlti. Les formules que nous venons de trouver doivent devenir celles du mouvement uniformément accéléré quand on suppose la distance AB très-petite par rapport au rayon terrestre.
En effel, soit {Jig. 72, p. i5o} AB = A,
on a, formule (2). n" 2(1,
Comme h et x sont des quantités très-petites par rappoit
l54 COURS DE MËCAMQOE.
à r, on pent négliger k — x, qui est ajouté à r, et remplacer a par r, ce qui donne
Maintenant dans la formule (3) (214) on peut remplacer
— a arcsin i -Ja- 2 \a^
mais - Cl par suite - ijax — x^ ou a W - ( i ] éiant
très-petit, on peut remplacer l'arc par son sinus ci A la
place de -a arcsin ( - \Jax — x' ] écrire ^/ax — x^. Par la même raison, négligeant x* devant ax et r plaçant a par r, la fornciule (3) devient
DIX- SEPTIÈME LEÇON
DIX-SEPTIÈME LEÇON
DU MOUVEMENT RECTIUGNE DES POINTS ATTIRÉS OU REPOUSSÉS PAR DÉS CENTRES FIXES.
DUTeinent de deux points qui s'.'itlirent en raison inverse du carré d distances. — Mouiement d'un point attiré par \>a centre iiic en raiai directe de la distance. — HoUTement d'un point repousaé par un cent llie en raison directe de la distance.
HODTBMEHT DE DEUX POINTS MÀTÉHIELS QUI s'ATttREST EH RAISOK IHVERSE DU CAKHÉ DES DISTANCES.
217. On peut ramener au problème précédent (211) le mouvement de deux points matériels qui s'attirent en raison directe des masses et en raison inverse du carré de la distance.
Les équations du mouvement de ces deux points, en appelant m et m' leurs masses, x et x' leurs distances à une origine prise sur la droite qu'ils parcourent et u leur distance au bout du temps l, seront
rf'.r /n,w' , d'à' fmm\
d'où l'on déduit
c'est-à-dire que le centre de gravité des deux masses se meut uniformément. On a ensuite
l56 COURS DE MÉCANIQDB.
011, à cause de x' — x= u,
d'à f{m + m-) dt «»
Donc l'un des points se meut par rapport à Tautre o s'il était attiré par une masse égale à ( r» + m') placée en un centre fixe. On dëlcrminera donc u en fonction de t comme dans le problème précédent, puis on aura les valeurs de X et de x' par les équations
MOnVEMEMT d'hH POINT ATTIRÉ EM RIISOK DIEECTE
218. Considérons un point malériel placé d'abord an c. , point A où sa vitesse est nulle
et attiré par un centre nseU, en raison directe de sa distance à ce dernier point, que nous prendrons pour origine. Comme la force attractive tend à diminuer l'abscisse variable x du point mobile, on a l'équation
n' étant la mesure de l'attraction exercée sur l'unité de masse du corps à l'unité de distance. Multiplions de part et d'autre par ^dx, nous aurons
d'où, en intégrant,
la constante étant déterminée par la condition que -^ ou V soit nulle pour x^a.
DIX-SEPTIÈME LEÇOn. iSj
Comme la vitesse du mobile est négative quand il va dans le sens AO, on a
ou
dr
Intégrant et déterminant la constante pai la condition que Ton ait à la fois t=o,x^a,ce qui la rend nulle on a
(3) x:=at:Oinli et ensuite
(4) p = — nusinw.
âl9. Lorsque le point mobile arrive en O, ou a x^o et nt= -}
Parvenu à ce point, sa vitesse est égale à — na. Le mobile dépassedonciepointO et continue sa route en vertu de sa vitesse acquise. Pour déterminer le point A' où il s'arrêtera, faisons v=o, il en résulte nt = r, d'où r = - et parsuite j:= — a. Ainsi 0A'= OA.
Arrivé en A' où il n'a plus de vitesse, le mobile se trouve placé par rapport au point O, comme il l'était en A. Il sera donc attiré avec une vitesse croissante de A' jusqu^BU point O où sa vitesse sera na, puis cODlinuera sa route en vertu de sa vitesse acquise jusqu'en A, pour revenir de nouveau en O, et ainsi de suite.
Ainsi le mobile fera une infinité d'oscillations toutes
vgales entre elles et de même durée, de A en A' et de A' en A.
220. On peut, comme dans le cas précédent (2)5), représenter par une construction géométrique la relation qui existe entre l'espace et le temps. Sur AA' [Jîg- 74: n" 218) comme diamètre décrivons une demi -circonférence. Soit OM = x, et menons MN perpendiculaire a AA'. Le triangle rectangle ONftI donne
Ainsi — représentera le temps que le mobile emploie A aller du point M au point A.
IW POIHT BEPOCSSÉ PAR UH CEKTKB FIXE EN EAISON DIEEGTE DE 1
221. Examinons maintenant le cas d'un point matériel repoussé par un centre ûxe O, en raison directe de la distance.
Supposons qu'à l'origine du temps le point matériel
Fie. 75. placé àunedistaiiceOA^o
u  I du centre fixe soit animé
d'une vitesse dirigée vers le point O et représentée par
~nb.
La force accélératrice, positive puisque la répulsion tend a augmenter l'abscisse du point M, étant représentée par rt'x, on aura
d'où l'on déduit, en multipliant par ^dx et intégrant,
JllX-SEFTlÈHE LEÇON. ISQ
Mais, pour (=0, on a — oaLV= — «6, x = a; donc d'où, en éliminant la constante,
On prend te signe — , parce que la vitesse est d'abord négative. En intégrant de nouveau et ayant égard aux circonstances initiales, on aura
On tire facilement de cette équation
(4) 2x = (aA-b)e-'+ {a—b)^'.
2ffî. Examinons^main tenant quelques cas particuliers. La formule
montre que la vitesse ne peuijamais êire nulle, si l'on a t' > fl'. Daus ce cas le mobile atteindra l'origine lorsqu'on aura
valeur positive, puisqu'on a v^' — a*<^a + b. Sa vitesse étant alors — n •ijb* — a', le mobile dépassera le point O, et il est clair qu'il se mouvra indéfiniment vers la gauche.
So COURS DE MÉCANIQUE.
Si l'on a ft <; a, la vitesse sera nulle 'lorsque l'on aura
ee qui correspond à un point placé entre O et A, et cette circonstance arrivera à une époque donnée par
Il est clair qu'arrivé au point B le mobile, repotissé par l'action du centre £xe, commencera k se mouvoir vers la droite, et sa vitesse sera positive. 11 faudra donc, à partir de cet instant, prendre la formule
Dans ce cas le mobile ne passera jamais par le point O, car la formule
donne pour x=o
valeur imaginaire,
En6n si l'on a b =: a, les formules se simplifient, et l'on a
La première montre que Ton a f = o pour j: = o; mais la seconde ou la troisième donnant pour x = o, t = oo , ou voit que le mobile approchera contiuuellement du point O, mais n'y arrivera jamais.
itizecyGOOglC
niX-BVITltuE LEÇOIT.
DIX-HUITIÈME LEÇON
