DU MOUVEMENT CDRVILIGNE ET DES FORCES QUI LE PRODUISENT
■rojeetion d'un monTement recliliene et uaifornie sur un aie. — De I ïileue dam le mouTement cuniligne. — Da 1> force qui prodail u int curviligne donné.
PEOJECTtOI) n UN HOUVEHENT EECTILIGIIE ET UKIFORME SDR UN AXE.
223. Si M est la position occupée par le mobile au Fip. jô. l>oui du temps t, sur la droite
AB, et f sa vitesse supposée constante, on aura
AU = i't.
Soit 0:i; un axe quelconqui^ avec lequel ÂM fait un angle a, et soit A'M' la projection de AM sur Ox ; on aura
A'M' = AlIcosa:=«cosa, ou bien
A'W = vcosat.
Donc la projection du mobile sur un axe quelconque se meut d'un mouvement uniforme, dont la vitesse p est liée à la vitesse v par la formule
Si l'on projette de la même manière le point mobile sur deux autres axes, Oy, Oz, faisant avec AM des angles 0, y, les vitesses p, ç,rdes projections sur les trois axes seront données par les formules (l) p = 9CO%a, qr=vçoi^, r^^vcosy.
Stdm. — J/rfc, 1. '*
l63 C01TBS DE UËCAHIQVB.
Les quantités ;>, q, rsout nomniées les composantes delà vitesse du mobile sur ces axes. On démontre facilement ({ue ces formules conviennent à tous les cas, pourvu qne l'on considère p, 9, r comme positives ou négatives suivant que les projections du point M se meuvent dans le sens positif de l'axe ou en sens contraire.
Sâi. Lorsqu'on donnera le mouvement du point M, c'est-à-dire les valeurs de v, a, p, y, les équations
feront connaître les composantes /7, q, r. Réciproquement ces composantes étant connues, on en déduira v, a, p, y par les formules
(3) cosn=^, cosp= ?, cos7 = --
Si l'on mène par le point O une droite représentant en grandeur et en direction la vitesse du mobile, on voit que les composantes de cette vitesse seront représentées en grandeur et en direction par les arêtes d'un parallélipipède dont la vitesse du mobile serait la diagonale.
225. Soient a, b, c les coordonnées du point A où se trouve le mobile à l'origine des temps, et soient x, j, z celles du point M où il se trouve au bout du temps t, le mouvement sera complètement représenté par les trois équations
( t — e-^rt.
Eu dTet, on a
OM' = OA' + A'M'i A'iaïs
<m' = x, Qk' = a, A'M' = /rf;
DIX-BUITIÈME LEÇOH. l63
donc
On démontrerait de la même manière tes deux autres formules.
On aurait des formules semblables en prenant des axes obliques.
ââ6. On a vu que la projection sur un axe quelconque d'un point qui se meut d'un mouvement uniforme et rectiligne se meut elle-même d'un mouvement uniforme. Réciproquement, si les projections d'un point M sur trois axes Ox, Oy, Oz se meuvent avec des vitesses, constantes p, q, r, le mouvement du point M sera luimême rectiligne et uniforme. En effet, soïl A le point où se trouve le mobile quand {=: o; les projections de la droite AM sur les axes étant pt, gi, rt, on a
AM =: / sjp' -\- q' -\- r';
de sorte que la distance AM est proportionnelle au temps. En outre, si l'on appelle a, ^, y les angles que la droite AM fait avec les ases, on a
cos^ =
[ cos-/ -
yfp^-
Donc la droite AM conserve une direction constante; et comme sa longueur varie proportionnellement au temps, le mouvement est bien rectiligne et uniforme.
COURS DE MÉCiNIQVE.
