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et, en passant k ta limite,
Si les axes étaient obliques, on aurait, en décomposant la vitesse v en trois autres, p, q, r, et la force F eu trois forces X, Y, Z, suivant les axes,
1 X „ , àx
Ax = pi.t -\ i(', doù ~r=p.
Ainsi les composantes de la vitesse stiivant les axes s^ obtiendront en prenant les vitesses des projections sur ces axes, et l'on aura, dans le cas des axes rectangulaires,
, . dx dr „ rf*
(a) -— nécrosa, -— :=i'cosS, -r-:r;ccos7,
^ ' dt ^ dt '^' dt "
d'où l'on déduira
d'où
en désignant par s la longueur d'un arc comptée sur la trajectoire à partir d'un point fixe. Cette formule conviendrait encore si les axes étaient obliques,
229, Quand la force qui agit sur le mobile est variable, on a, en désignant par fi. un inâniment petit,
La molécule va de M en K, comme un point qui aurait au bout du temps I la vitesse f suivant la tangente MT et qui serait sollicité par une force d'intensité et de direction constante, dont les composantes seraient
l66 COURS DE MÉCAKIQDE.
Celle force diffère infînîment peu de P, si A* est trèspetitj car si l'on imagine une autre molécule soumise à une force constante P' et arrivant en K, on a
On déduit de (4)
Les formules sont donc les mêmes que dans le cas où la force est constante.
Dans tous les cas on a
di dx fts
(5) c»a = -, co.p = ^, «., = -;
donc la vitesse est dirigée suivant la tangente MT.
230. Ces formules peuvent encore être obtenues par la méthode des inGniment petits. Pendant le temps infiniment petit dty le mobile parcourt sur sa trajectoire un espace infiniment petit ds. On peut considérer son mouvement comme rectiligne et uniforme pendant le temps dt, puisque la vitesse ne varie qu'infiniment peu en grandeur et en direction. On aura donc
ds = edt, d ou c ^ -- ■ ' dt
D'ailleurs la direction de la vitesse est celle de l'élément ds ou de la tangente au point M.
DES FOBCES Qri PBODUISEUT vu MOUTEHEIfT DOBIfé.
231. Considérons maintenant la force qui produit le mouvement d'un point matériel dont la masse est m.
Soit f là vitesse du mobile au bout du temps f, lorsqu'il
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arrive au point M de la trajectoire AM13. Supposons que la force motrice qui sollicite continuellement ce mobile conserve une intensité constante P et une direction constante parallèle à MP, pendant an certain intervalle de / " temps 9, qui succède au temps
y t. Si le point M était en repos
au commencement du temps 9, la force constante P lui ferait parcourir dans le temps b un espace IVII égal à -f 6*, cp étant l'accélération due à ta force P ou la vitesse que cette force communiquerait à la masse m. après l'unité de temps. D'un autre côté, si la force P cessait tout à coup d'agir, au bout du temps t, le mobile suivrait la direction de la tangente Ml' et parcourrait sur cette direction l'espace MH = fS, pendant le temps 0, avec la vitesse consUnte V. Maintenant concevons deux points matériels arrivant en même temps au point M et animés tous deux de la vitesse v suivant la tangente MT, l'un d'eux étant sollicité eu outre, pendant le temps 0, par la force constante P. Il résulte du principe général sur les mouvements relatifs, dont nous avons déjà fait usage, que ca point se déplacera par rapport à l'autre, comme si les deux points eussent d'abord été en repos. Le point mobile animé de la vitesse v en M et sollicité par la force constante P arrivera donc, au bout du temps (?, en un point K qu'on déterminera en menant par le point H la droite HK. parallèle et égale à MI.
La courbe MK décrite ainsi est une parabole ; car on a
MH = IK.=
