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l68 COURS. DE HÉCÂNIQOB.
Citation d'uue parabole, si l'on considère. MI et IR comme les coorilonnées du point M par rapport aux axes MP et MT.
232. Pendant que le mobile parcourt l'arc de paraboli; MK, sa projection sur Ox parcourt l'espace M'K' égal à M'H' ■+- H'K.', c'est-à-dire à la somme des projections des droites MH et HK. Or on a
M'H' = MHco8a = pecos« = ^e,
H'K' = UKcosl=-ïfi'cosl = - -fl>co»l,
en appelant ï. l'angle que la direction constante de la force P fait avec l'axe des x. On a donc
rfi: P 6'
M'K' = -r-e-i--co»l —
de m 2
D'un autre côté, l'espace M'K' étant l'accroissement qne prend la variable Xy qui est une ceruine fonction de t, quand t preud l'accroissement 6^ ou a, par la formule de Taylor,
(* désignant nne quantité qui tend vers zéro, avec 9.
En égalant ces deux valeurs de M'K', supprimant le terme commun -pO» et divisant ensuite par le facteur
Si 6 diminue jusqu'à zéro, fi tend vers zéro; mais les autres quantités indépendantes de Q ne cbangent pas. Oi. aura donc, en passaut à la limite,
-DIX-HUITlhHE LGÇOK.
Ainsi, dans le cas où la force est constante, m —r- a une
valeur cODstante égale à P cosl, c'esl-à-dire à la projection <1e la force sur l'axe des x.
233. Qiiand l'intensiié et la direction de la force motrice varient à chaque instant, on a encore la formule
m — — = P cosi,
en désignant par P l'iulensiié de cette force à l'instant considéré, et par X l'angle qu'elle fait à cet instant avec l'axe des x.
En effet, pendant le temps 6 qui succède an temps t, lo mobile parcourt une portion MK. de sa trajectoire (qui n'est plus une parabole), dont la projection sur l'axe des X est
Désignons par P' la plus grande intensitéde la force molie. 7g. tricequi sollicite le pointM
pendant le temps 8 et par /' le plus petit angle que fait la direction variable de cette force avec l'axe des x. Si le mobile arrivé en M avec la vitesse l'était sollicité par une force constante P' et faisant toujours avec l'axe des x l'angle V, ce mobile serait transjmrté, après le temps $, en un point L au delà du plan K.K' parallèle au plan zOy mené par le point K. En d'autres termes, l'espace M'L' parcouru par sa projection sur l'axe Ox serait plus grand que l'espace M'K'
I^O COC&S DE HËCIHIQITB. '
parcouru par la projection du mobile qui décrit réellement la courbe MK. On a donc
ou
a --9 4. +a)- <e + cosl'-.
Si la force motrice agissait sur le mobile, animé au point M de la vitesse v, avec sa plus faible intensité P' et sous une incHuaison constante X" égale au plus grand angle qu'elle fasse pendant le temps Q avec l'axe des x, le mobile m arriverait en un point N situé en deçà du plan KK', en sorle que l'espace M'N' décrit par sa projection sur Ox serait moindre que M'K'. On aurait donc
Des deux inégalités précédentes on déduit — COSl' > ^ -(. (1 > cosi', et en passant à la limite
ou, en posant P cosi = X,
Le même raisonnement s'applique aux autres axes ; on aura donc, en désignant par Y et Z les composantes de la force P suivant les axes des^ et des z,
^ ' dl' ' dt' ' dfi
DIX-HDlTlàHE LEÇOn. I^I
Ces formules montrent que les projections du poiot mobile sur chaque sze se meuvent comme des points matériels de même masse sollicités uniquement par la composante de la force motrice suivant cet aie. Elles ne supposent pas les axes rectangulaires.
231, Si X, Y, Z, au lieu de représenter les composantes de la force motrice, représentaient celles de la force accélératrice, on aurait plus simplement
dF-*' rf^-^' rfF-^'
S35. Si l'on connaît ta courbe décrite par un mobile et la loi de son mouvement, c'est-à-dire si les coordonnées X, j; z sont données en fonction du temps par les trois équations
une première difî'érentialion fera connaître les composantes de la vitesse parallèles aux axes
lïî* dt' (/( '
et une seconde différentiation fera connaître les composantes de la force accélératrice, savoir :
d'r ,l\r rf'ï dfi ' dt' ' di' '
et, par suite, les composantes de la force motrice.
236. Ordinairement on doit résoudre le problème inverse, c'est-à-dire c]ue la force motrice est donnée à chaque instant de grandeur et de direction. Alors X, Y, Z sont des fonctions connues de t, et l'on a, pour connaître complètement le mouvement du mobile, à intégrer trois équations simultanées.
1^9 COURS DE HÉCAHIQU&.
DIX-NEUVIÈME LEÇON
