Si dans l'étjuation (S) on lait ^ = o, on obtient
ce qui fait connaître le point B où le projectile rencontre de nouveau l'horizontale Ax. La longueur ÂB esl ce. qu'on appelle Yamplitude du jet. Elle est double de l'abscisse du sommet, et c'est ce qui devait être, puisque la parabole est symétrique par rapport à son ase CE. On peut écrire
AB^aAsinaa :
il en résulte que Vamplilude du jet a sa plus grande valeur, quand sinaa = i, c'est-à-dire quand a ^ ^5°, la vitesse initiale restant ta même.
24i5. Proposons-nous de trouver sons quel angle il faut lancer un projectile du point A, pour qu'il atteigne un point donné (X, Y). Ici l'inconnue est tang«, et si l'on pose
taDga = tt, d'oi — ^ =: 1 + «»,
DIX-KEUTIEME LEÇOM. 177
J'équatîon (8) devient, en y remplaçant tauga, x^ y " par «, X, Y,
44 ' d'où l'on tire
Donc si l'on a
on aura deux valeurs r^eiles de li, toutes deux posilives dans le cas où X est > o, et par conséquent le projectile pourra être lancé dans deux directions différenlcs pour aiieindre le point M. Si l'on a
4A= — 4AY— X' = o,
il ii'esîstc plus qu'une seule direction donnée par la formule
tang.^-,
et enGn le problème est impossible quand on a
4/*'— 4ftT — X'<o 2tC. La coujbe dont l'ét^uation est
ou
est une parabole L'HL {fig. 81, n" 239), dont Taxe est dirigé suivant Ky^ et dont le sommet H est situé à la hauteur AH = h. Les résultats précédents peuvent s'énoncer ainsi ; Quand le point que l'on veut atteindre est dans l'intéiieur de cette parabole, le mobile peut être lancé suivant deux directions dilTéreiites ; il n'y a plus qu'une seule direction convenable, si le point est sur la parabole mèmej enfin quand ce poiut est bors de la courbe, le problème h' est plus possible.
SiUBU.— Mie, I. ^2
I^S COUBS DR MÉCANIQUE.
247. Si, laissant l'iniensilé de la vitesse initiale con- Pig. 81. stante, ou fait varier sa direction , on obtiendra une infinité de paraboles ACB, AC'B' Toutes ces paraboles ont pour directrice commune l'horizontale HL menée à la hauteur AH = h.
En effet, soit
" 4 A cos'a
l'une des paraboles ACB dont C est le sommet : on a
CE = A8in'a,
et4Acos'a étant le paramètre, ftcos'a est la distance du sommet à la directnce, et par suite h sin'« + h cos*« = h est la distance de la directrice, qui est horizontale, à l'axe kx.
HL étant la directrice de l'une quelconque des paraboles, si F en est le foyer, on s AF = AH. Donc les foyers de toutes les paraboles sont sur une circonférence décrite du point A comme centre avec AH = h pour rayon. Oit trouvera facilement que les sommets C et C sont sur une ellipse.
âtô. Représentons par
l'équation
de l'une quelconque des paraboles. Une autre de ces courbes aura pour équation
dix-heutièhe leço». ijq
Si M {x,y) est un point commun à ces deux courbes, on aura donc k la fois
d'où l'on délnit
Si maintenant on suppose Au = o, on a , pour ^^terminer Je point d'iutcrsecttou de deux paraboles infiniment voisines, les équations
L' élimination de » entre ces deux équations donnera
pour l'équation du lieu des points M, c'esi-à-dîre pour l'enveloppe de toutes les paraLoles.
Or cetie équation est précisément celle que nous avons trouvée pour la parabole HLM, lieu des points que le pro* jectîle ne peut atteindre que dans une seule direction. Ce
jirîme que pour un système quelconque de valeurs atirjliuées À X et j-, u considérée comme inconnue a deux valeurs égales.
COVnS DE MÊCAIIIQUB.
VINGTIEME LEÇON
