DES COMPOSANTES DE LA FORCE MOTRICE

D^compiMitton de la force fnolrJFe en rorce Ungenllelle et fore pèle. — Cas d'un puinl aasuiriti à décrire une courbe donnée, cenlvifuçe, — Cas d'un poinl aesujelli à demeurer sur une surfi née. — Méthode d'Huyaheiia. — Apiilicatîon ait moiiïemenl de de la (erre.

DÉCUMPOSITIOIf DE LA FOncB ^

TAKGEHT1EI.LË ET FORCE CEKTIllPÈTE.

249. Soit M un point eiiiièrcment libre dans Tespacc :i sollicité par plusieurs forces dont la résuliaiite est P. Fig, 8^. On sait que si X désigne la com-

posante de celle force parallèle à l'axe des j~, on a

mais si a est l'angle que la tangente à la trajectoire fait aïec l'axe des x, et y la vitesse, on a

X élant l'angle que fait avec l'axe des x la droite qui va du point M au centre du cercle osculateiir à la couibe eo

. VINGTIEME LEÇOK. iSl

ce point, el p le rayon du cercle osculaieur : donc

(a) X=roi^coa«-f- — cosl.

Ceitê éciuation exprime que la projection de la force P sur un axe quelconque est égale à la somme des projections sur cet axe : i° d'une force m—i dirigée suivant (Il "

la tangente à la courbe; 2" d'une force — ^j dirigée suivant la norniale qui passe par le centre de courbure. Donc P est la résultante de ces deux dernières forces.

Ainsi, dans le mouvement d'un point en ligne courbe, la force motrice P se décompose à chaque instant en deux forces : l'une, dirigée suivant la tangente, est nommée la force tangentieJle; l'autre, dirigée suivant le rayon de courbure, se nomme la force centripète. En désignant la première par T, la deuxième par Q, on aura donc

C'est celte dernière force qui produit la courbure de la trajectoire en écartant le mobile de la tangente.

Il résulte de là que le plan qui passe par la force motrice el par la tangente est le plan osculateur au point M, puisqu'il renferme le centre de courbure.

S50. Quand le point matériel est sollicité par plusieurs forces dont P est la résultante, on peut décomposer chacune des premières forces en deux autres dirigées l'une suivant la tangente el l'autre perpendiculairement à celte tangente, el par conséquent dans le plan normal à la courbe. Les forces tan^entîeltes se. composeront en une seule T, égale à leur somme algébrique, et les forces normales se composeront aussi en une seule Q, nécessairement dirigée suivant le centre de courbure. 11 résulte de

l8a cocus DE HÉCANIQCe.

là que si une des forces appliquées au point M est normale à la trajectoire, elle ne donnera pas de composante suivant la tangente et n'entrera pas dans U valeur de

dv m y : en d'autres termes, elle n'înQucra pas sur l'accélération du mobile. De même une force dirigée suivant la tangente à la trajectoire n'aura aucune influence sur la valeur de — i et par suite ne tendra pas à changer U direction du mobile.

POINT ASSUJETTI A SE MOUVOIR Sm USB COUItBE DOHKÉE. FORCE CEMTBIFL-GE.

Sol. Supposons en premier Heu qu'un point M (jîg- 83, p. iSo), qui n'est actuellement sollicité par aucune force et qui ne se meut qu'en verUi de sa vitesse acquise, soit assujetti à demeurer sur la courbe AMB. Son mouvement doit être celui d'un point libre sotliciié par une certaine force N qui représente la résistance de la courbe, action égale et contraire à celle qu'exerce le mobile sur la courbe. En supposant qu'il n'y ait pas de frottement, cette résistance est normale à l.i courbe, et par conséquent elle n'a pas de composante langeotielle. Donc on a

a étant la vitesse initiale. Ainsi la vitesse est constante, et comme de l'équation t' ou — = a on déduit s = at, le mobile parcourt sur la trajectoire des espaces égaux en temps égaux. La force normale N doit alors être dirigée suivant le rayon de courbure MK, et l'on a

r La pression exercée par le mobile M sur la courbe ou

. VIKGTIËMB LEÇON. l83

sur le lien qui l'oblige à parcourir cette courbe est égale et contraire à la résistance N de la courbe et par conséquent son expression est- — Cette force, égale et contraire à la force centripète, est ce qu'on appelle \a force cenlnj'uge.

2a2, SupposoDS en second lieu que le point M soit Fig. 8,^. sollicité par une certaine force

motrice P. On peut faire ahstraction de la courbe, si l'on joint à la force Pune certaine force M, normale à la conrbc, force égale et contraire à la pressiou que le point M exerce sur elle. Décomposons la force P en deux autres T et Q, la première dirigée suivant la tangente, et la seconde située dans le plan normal de la courbe. Soit F la résultante des deux forces Q et M, situées toutes les deux dans le plan normal. La force F agira suivant le rayon de courbure (251 ) , et l'on aura

dp ^ mo' „ m -r = T, — = F.

dt f

La force F, dirigée suivant le rayon du cercle osculateur et qui agit à chaque instant pour empêcher le mobile de s'écarter de la courbe suivant la tangente, est la force ceniripèie. Une force F', égale et contraire à la force F, qui la détruit à chaque instant, est appelée la force cvntriftige. La force N étant égale et contraire à la pression esercée à chaque instant par le mobile sur la courbe, cette pression s'obtiendra en cherchant ta résultante des deux forces Q et F' qui font équilibre à la force N. On aura

F:Q = sinQMN:sinFMM, ce qui donne la position de MN.