Si la force motrice était nulle, on aurait
et N serait à la fois la mesure de la force centripète et de la force centrifuge.
Si la force P était dirigée suivant la tangente à la trajectoire, on aurait
La résistance de ïa surface serait la force centripète. Dans ce cas, MN se confondant avec MF, le plan osculateur PMF contient la normale N à la surface. Alors la courbe que décrit le mobile est telle, que tous ses plans osculateurs sont normaux à la surface. Cette propriété appartient, comme on sait, à la ligne la plus courte tracée sur la surface entre deux poinls. On peut donc dire que dans ce cas la trajectoire est la ligne la plus courte que Von puisse tracer sur la surface enlie deux quelconques de ses points.
AUTRE MANIERE d'obTEKIH LES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.
236. Huygbens trouve à peu prés de la manière sui- Fie 85. vanlelescomposantesdelaforce
motrice. Le mobile arrivant au point M de sa trajectoire, au bout du temps f , décomposons la force motrice P en deux forces T et Q : l'une dirigée suivant la tangente MT, et l'antre perpendiculaire à cette tangente. Dans le temps infiniment petit
l8S COURS DE MéCAHTQUE.
dt, le mobile parcourt l'arc MN r= ds. Si l'on considère la force motrice P comme constante en grandeur et en direction pendant le temps infiniment petit dt, l'élément MN ou ds peut être considéré comme situé dans le plan PMT qui passe par la tangente MT au point M et par la direction de la force P. C'est donc le plan osculateur de la trajecloire, et la direction de la force Q passt: par le centre de courbure K.. Pendant que le mobile parcourt l'arc MN, sa projection sur la droite MK parcourt l'espace MH, projection de MN, en se mouvant comme un point de même masse qui, n'ayant pas de vitesse initiale suivant MG, serait sollicité par la composante de la force P parallèle à MK, composante qui conserve pendant le temps dt la valeur Q qu'elle a au point M. Oa aura donc
Décrivons dans le plan PMT le cercle osculateur au point M, qui touche la tangente MT eu M et passe par le point N infiniment voisin du point M : le carré dé la corde MN est égal au diamètre multiplié par la projection MH de MN sur le diamètre MK. On a donc
en substituant l'arc infiniment petit ds à sa corde MN et désignant par p le rayon de courbure MK.
En égalant les valeurs (.) et (a) de MH, on aura
1 O «fc'
VIHGTIEME LEÇOIf,
Pendant que Je mobile parcourt l'arc MN,la projection sur la tangente MT se meut comme un point de masse m sollicité par la force constante T; on a donc
a désignant l'angle que la vitesse variable v du mobile sur l'arc MN fait avec MT. En eflectuaut la différeiitiation,
Mais au point M l'angle a est nul, ce qui donne pour ce point
Ces considérations s'étendraient au cas d'un point as; jctti à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface.
L LA FOUCE CENTRIFUGE.
257. Quand un corps solide tourne uniformément autour d'un axe fixe AB, chaque point M de ce corps possède une force centrifuge particulière F, qui pour l'unité de masse est
égale à
V étant \.
vitesse du
point M et p le rayon KM du cercle qu'il décrit. En appelant T le temps d'une révolution entière, on a
l88 COURS DE H£C4RI(2TIE.
].es forces centrifuges dés dillérents points sont donc proportîonnelles à leur distance à l'axe.
2o8. Ces remarques sont applicables à la terre. Outre son mouvement de translation dans l'espace, elle a un mouvemenl de rotation autour d'un axe passant par son centre)
Gomme la force centrifuge tend à éloigner tous les corps de l'axe de rotation de la terre, elle doit modifier l'inteuBÏté de la pesanteur à la surface du globe. Ponr PIg, 87. apprécier son influence, consi-
déronsd'abord un point M situé surl'équaieur. AppelonsGTinlensiié de l'attraction de la terre sur l'unité de masse au point M, force dirigée suivant MO; F la force centrifuge du point M, rapportée à l'uuîié de masse, force dirigée suivant MF, prolongement de OM; enfin g le poids apparent de l'uniié de masse ou la pression sur l'appui qui soutient la masse m. On aura g = G — F. Si l'on appelle p le rayon terrestre et T le temps que la terre emploie à faire une révolution, on a (257)
me on aura
. = o-fci.
Pour se faire une idée plus exacte de la diminution que la force centrifuge fait subir au poids du corps, observons que la circonférence d'un grand cercle de la terre est égale à 4" 000 000 de mètres. L'observation donne pour g très-sensiblement la même valeur dans les différents lieux de la terre. En prenant la valeur g =: ^"jfioSgô, à Paris,
VIHGTIÈHS LEÇON.
g diffère donc très-peu de G, et l'on a à peu près
Donc ta pesanteur à Téqualeur est diminuée d'enviioii sa 389* partie. D'ailleurs la formule F = 3^-^ fait voir que si le mouvement de roiaiiou devenait 17 fois pins rapide, la force F deviendrait 17* ou aSp fois plus grande, et alors la pesanteur serait à peu près nulle à l'équateur.
2o9. Supposons maintenant le point M placé sur un Fig. 88. certain parallèle dont le rayon
MKr:;/-. Soient 1= MOC la latitude du point M, G l'iiilensité de la pesanteur en ce point, J l'îniensité, rapportée à ruoilé de masse, de la forée centrifuge dirigée suivant Mf. On a
d'ailleurs
cos).;
et à cause
dei- =
= pcoa).,
oa
donc
/co
Ipn COURS DE HÊCAHtQtTE.
à peu près; donc enfin
A j'équatenr cosA=i, g = Gfi 5-); au pôle
cosX=: o, g' = G.
L'attraclion di^ la terre sur l'unité de masse des corps placés à sa surface doit encore subir une correction qui cat due à ce que la terre n'est pas parfaitement sphérique et homogène. En tenant compte de sa forme réelle, on trouve que g est donné par la formule
VIKGT ET UKIEUX LIÇO».
VINGT ET UNIÈME LEÇON
