DÉFINITION DU TU&TAIL

264. Le produit Tds que l'on obtient en multipliant la composante tangenlielle de la force P par l'élément de l'arc parcouru dans l'instant dt se nomme travail è.lémentaire ou élément de travail de cette force. L'élément de travail est considéré comme positif lorsque la force tangenlielle agit dans le «ens du mouvement, et comme négatif dans le cas contraire, ou, ce qui revient au même, suivant que l'angle ot est aigu ou obtus. Le signe du travail élémentaire sera donné par l'expression PcosMrfj, en considérant P et (fo comme positifs.

Si l'on considère PcosMf/j comme le produit de P par co&ads, on peut dire encore que le travail élémentaire est égal au produit de la force par la projection de l'élément du chemin parcouru sur la direction de celle force.

263. Dans tous les cas, la projection d'une résultante sur une droite étant égale à la somme des projections de ses composantes, on voit que le travail élémentaire de la résultante de plusieurs forces est égal à la somme algébrique des travaux élémentaires de ces dernières forces.

266. On nomme travail total d'une force P pour un chemin déterminé AB l'intégrale JTds, piise entre les limites qui correspondent aux extrémités de l'arc parcouru. Les forces normales à la trajectoire n'ayant aucune influence sur la composante tangenlielle, n'influent pas sur le travail total.

SniM. — Hic., 1. l3

194 COtJnS DE MËCANIQUE.

Pour donner un exemple de travail total, considérons un poids P descendant sous l'action de la pesanteur, soit librement, soit en demeurant sur une courbe quelconque : on aura Pdscos(ù= Pdz, en appelant dz la projeclion

de l'arc dt sur la verticale. Le travail total sera jPdz

ou Pz, lorsque le mobile sera desrendu de la hauteur verticale z. Ce travail serait — Pz si le mobile montait de la hauteur z.

BELATIOM EKTIIE LE TmvAlt. ET LA FORCE VIVE.

267. Si dans l'équation (2] du n" 260 on remplace \da: -i- Y dy -\- Zidz par Tds, on aura

(i) dmv'^zldi,

d'où

(a) mP' = C-h:i f'-Ids.

Si h est la vitesse lorsque s = s^, on aura C = mA', et par suite

Ainsi l'accroissement de force vive du mobile, lorsqu'il passe d'une position à une autre, est égal au double du travail de la force motrice.

268. Si la force P est la résultante de pigsicurs forces P,, P„ . . .'. dont les composantes langentielles sont T,, T„ T),.. ., on aura

Ç'ïds= fl^(h+ JTids-t

TI»OT ET nmiÈUE LEÇON. ig5

On aura donc (t) m,>'~niÂ* = it{ l'%d^+ JT,rls-i-...y

Donc, si Ton appelle forces mouvantes celles qui font un angle aigu avec la langcnli;, ci forces résistantes celles qui font un angle obtus et dont l'elTet est de retenir le mobile dans son mouvement sur la courbe, on pourra dire que :

Vaccroitsement de force vive d'un mobile, lorsqu'il passe d'une position à une autre, est égal au double de l'excès du travail des forces mouvantes sur le travail des forces résistantes.

Ce principe est ce que l'on nomme le principe des forces vives ou de la transmission du travail, pour le cas d'nn simple point matériel. Nous Télendrons plus tard au cas d'un nombre quelconque de points.

coNSÉQXjencEs du prikcipe des forces vives.

269. Quand le mobile n'est sollicite par aucune force ou qu'il l'est seulement par des forces toujours normales H la trajectoire, on a T := o, et par suite v^fc. Ainsi le mouvement est uDÎforine, ce qu'on a déjà trouvé par une aulre méthode.

270. Supposons que \dx -^Ydj -i-Zdz soit la différentielle exacte d'une fonction f{x, y, z) de trois coordonnées x^ y, z considérées comme des variables indépendantes, ce qui exige que l'on ait

Il résulte des lois de la difTérentiation que x, y, z étant regardées comme des fondions quelconques du temps, on aura

Xrfj: + Y <// -+- Z <fe = T A = (//{j, j-, z).

19^ COtlBS DE HëCANIQCK.

Par conséquent, l'équation de^ forces vires se réduira à

et «i ]'oD désigne par a, b, c les coordonnées du mobile, lorsque f = k, on aura

Il résulte de là que l'accroissement de force vive, lorsque le mobile passe de la position {a, h, c) à la position (Xyy, 2),ne<iépendpas delà trajectoire dans l'intervalle, ni du temps qui s'est écoulé entre les deux positions extrêmes, mais seulement des coordonnées de ces deux positons.