Dans le cas général , l'équation

rcpréseniera une infinité de surfaces diderentes, passant Fig. 90. par les divers points de la tra-

\v jectoire AMB. Nous allons dé-

montrer que si LMU est l'une de ces surfaces, la force motrice P au point M lut est normale.

En effet, la normale à la surface LMU au point M fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à

àf df df . . „ .

j-î -r-1 — ; or ces quantités sont eUes-mêmes proportionnelles à X, T, Z, DU aux cosinus des angles que la force P fait avec les axes. Donc la force motrice est normale à la surface LMU.

C'est ce que l'on vérifie dans l'exemple pirëcédent où les surfaces analogues ày{x,j', z) ^C sont des plans horizontaus perpendiculaires à la force motrice qui agit suivant la verticale.

Si la surface y (j:, ^, ^) ^ C oiTrait une résistance indéfinie, et si le point mobile se trouvait placé sur cette surface sans vitesse acquise, il y demeurerait en repos, puisque la force motrice serait normale en ce point à la surface. C'est ce qui arriverait pour un point matériel placé sans vitesse sur un plan horizontal.

CiS ou IL T 1 V5E RÉaiSTiUCE.

273. Quand unmobile éprouve un frottementou se meut dans un milieu résistant, l'expression ^dx -^^ dy -\-%dz n'est plus une diâ'érentîelle exacte. En effet, s'il y a frottement, cette force s'exerce suivant la tangente- à la

198 COUKS DE MÉCABIQUE-

trajcrloîre et en sens inverse du moiivemcnl du mobile; elle esi proportionnelle à la pression normale N du mobile sur la courbe qu'il décrit. Le froiiement est donc represonlé par — f^fj" étant nu cocfficieut coDStant. Ses composantes seront

et l*-exprcs3ion

sera la partie de %.ifx A- Y dy -\~ 2.dz provenant du frottement. Or la pression iV est inconnue au potnt considéré et ne dépend pas uniquement de l'arc parcouru. On ne peut donc pas dire que — fl^df, et par suite que 'S.dx-i-Y'fy-i-Zdz, soit, dans ce cas, la dilïérenlielle eSacte d'une fonction de x,^, z.

m. Quand le mobile se meut dans un milieu résistant, la résistance de ce milieu est une certaine foncliony (i-) de la vitesse, et la partie de cetie force qui entre dsns \dx ■+- Ydj -+- Zdz est, par un calcul analogue à celui que nous venons de fuire, — /{f) ds. Or la vitesse v, et par suite/"(f), ne dépendent pas des dirréieniielles de x^ y, z, et par conséquent — J^{y) ds n'est pas une différentielle exacte, non plus qiieXrfx-i- Ydjr-^Zdx.

Dans ce cas, si le point se ment sur une courbe connue, il faudra prendre l'équation

m-j—l ou m—-=1,

T désignant la composante de la force motrice (j compris les résislatices) suivant la tangente. Au moyen dos équations de la courbe on pourra exprimer T en fonction de f, et alors la détermination du mouvement sera ramenée à l'intégration d'une équation difféi-enlielle du second ordre, tandis que si X(/x -H Ydj 4- T^dt était une diflé-

VIITGT ÏT UHitMB LEÇOM. 199

reniielle exacle, on n'aurait à iut^rer qu'une éqiialion ' dilTërenticlIe du prumier ordre.

CAS on LB MOBILE EST SOLLICITÉ FAR DES lOBCES DIRIGÉES VEBS DES CENTRES FIXES.

275. Il est un cas imponaat dans lequel l'espressiou X(/x+Y/^ + Z(fi est toujours une diflerenlielle exacte, c'est celui où un point matériel est sollicité par des forces dirigées vers des centres fîxes et dont les intensités sont des fonctions des dislances du mobile à ces dilTérents centres. Supposons qu'une force dirigée vers îe centre fixe K {e,/, g) repousse un point M (x,^, z), avec une |.j. -, éncrgieRjfonctionseulemcutde

la distance MK = r. Les composantes de la force K étant -Z. n '-g u