DES FORCES CENTRALES ET DU MOUVEMENT DES PLANÈTES

Forées centrale!. — Principe des air coordonnées polaires. — Eipressioi

composanles. — Lois de Kepler. —

FORCES CENTRAI.es. PRINCIPE DES AIRES.

299. Soit M un point mobile sollicité à chaque instant par une force dont la direction passe constamment par un mêoiepointO. Les composantes de la force accélératrice, par rapport à trois axes rectangulaires menés pat- le point 0, seront proportionnelles aux coordonnées du point M. On aura donc

rij. roi

xd

yd'^

dt

irf'

xd':

yd

id^y

équations dont chacune est une conséquence des deux

TIHCT-Q111.TBIÈHE LEÇOH. 3^5

antres. En les intégrant et désignant par c, c', c" tioîs constantes arbitraires, on aura

tdx — xdt:=t^dt,

yàz — zdy z=^dt.

Les constantes c,c', c" se détermineront quand on connaîtra la position initiale et la vitesse initiale du mobile, en grandeur et en direction, c'est-à-dire les valeurs ini- . , , dx dr dz

tiales de x, y, z, -—, ~, — - ' -" ^ dt di dt

300. Si l'on ajoute les équations après les avoir respectivement multipliées par z,y, x, on a (3) K> = ez + c-y + c'x,

équation d'un plan passant par l'origine des coordonnées. Ainsi la trajectoire est une courbe plane. En effet, on voit bien à priori que le point mobile ne doit pas sortir du plan mené par le rayon vecteur initial et par la direction de la vitesse initiale.

Interprétons maintenant les équations (2). SoilOP = r la projection du rayon vecteur OIVI sur le plan des xy^, et soit PO a; ^ fi, on aura

tang B — - 1

d'où, en différentiant par rapport à t,

rfe xdf — j-rfiT xdy — ydx

d'où l'on lire

r^d^ =: xdj' — X dx.

Mais si l'on appelle X l'aire BOP parcourue par la projevtîoD du rayon vecteur, pendant le temps l, on a

aSd COCftS DE XteAniQDB.

doDC

d\:=- [xd^ — ydi] ou d\= ~edt, d'où l'on lire (4) > = !«.

Il n'y a pas de constante à ajouter : car "k étant la projection de l'aire pendaut le temps t, on doit avoir X = o pour I = o .

On conclut de là que le secteur engendré par le mouvement de la pj-ojeclion du rayon vecteur sur un plan quelconque est proportionnel au temps. La constante c est le double du secteur parcouru, pendant l'unité de temps, par la projection du rajoa vecteur sur le plan des xy. On aura des résultats analogues pour les deux antres axes. On aura donc

/5) \ = -ct, •k' = -c'i, i'^i.c"ï,

X' et Jt" désignant des quantités qui se définissent de la même manière que X. Si l'on projette le rayon vecteur sur le plan même de la courbe, on eu conclut que l'aire «Dgendrée par le rayon vecteur lui-même est proportionnelle au temps.

301 . Réciproquement, si la trajectoire d'un point mobile est plane et telle, que les aires engendrées par le rayon vecteur, partant de l'origine des coordonnées, soient proportionnelles aux temps, la force motrice passera constamment par l'origine des coordonnées. En effet, dans cette hypotbèse, le secteur OAM est proportionnel au temps; par suite il en est de même de sa projection X, sur le plan des xy. Donc, en appelant c le double de l'aire parcourue par la projection du rayon vecteur sur le plan ' des (x, /) pendant l'unité de temps, on a X = -et. Or

(il = -/-'de = i(j;rfj- — j-dlr).

VlIfGT-QOi.TKlËUE LEÇOIT.

Diflfëren liant cette équation par rapport à t, considérée comme variable indépendaDte, on en dédtiit

On conclut de là que les composantes de la force motrice

parallèles aux axes, savoir ; m — — , m -r^ et m -7- i en "^ ' di' dfi di'

appelant m la masse du. point mobile, sont proportionnelles aux coordonnées de son point d'application. Par conséquent, le parallélîpipède dont les coordonnées X, Xy z sont les trois côtés conttgus est semblable à celui qui a pour c6tés les composantes de la force motrice, d'où il suit que la diagonale du second, suivant laquelle est dirigée la force motrice, coïncide en direclionavcc la diagonale du premier, qui aboutit en O. Donc ta force motrice passera constamment par ce dernier point.

EXPRESSION DB LA VITESSE EN COOKOOHHÉES FOLllRES.

302. Prenons pour pôle le point O, par lequel Fig. 101. passe constamment la directioo

àe la force motrice, et pour axe polaire, une droite quelconque Ox, située dans le plan de la courbe. Soient OM = r et M03:=9. Enappelanl ds la différentielle de l'arc de la trajectoire, terminé au point M, on sait que v^= ^jor, quelle

2a8 CODES DB MÉCÂmQCB.

que «oit la variable indépendante, di* =: dC -\- r* dû' \

donc

/ . ^ (//■' + rVfl'

303. On a souvent besoinde connaître les composantes delà vitesse au point M, suivant OM et suivant une perpendiculaire à OM. Or, si (3 est l'angle GMT formé par OMavec la tangente MT à la trajectoire, l'cosîet csînJ sont les deux composantes. On a

axS

d'ailleurs

Donc