LOIS UE KEPLER

308. Les lois du mouvement des planètes ont été déduites de l'observation par Kepler. Elles sont au nombre de trois :

i" Les trajectoires de toutes les planètes sont des courbes planes, et pour chacune d'elles l'aire engendrée par le rajon vecteur parti du soleil et aboutissant à la planète est proportionnelle au temps.

2° Ces courbes sont des ellipses dont l'un des fyyers est au soleil.

3" Les carrés des temps employés par les différentes planètes pour accomplir une de leurs révolutions sont entre eux comme les cubes des grands axes de ces ellipses.

Ces lois se rapportent au centre de gravité de cbaque planète, ainsi qu'à celui du soleil.

COHSÉQOBNCES UES LOIS DE xtPLEB.

309. Il résulte de la première loi que \a force motrice qui sollicite une planète est constamment dirigée vers

33a COtJItS DE XtelIflQDK.

te centre du soleil, et comine la trajectoire elliptique tourne toujours sa concavité vers lu solei], il faut en coudure que cette force est attractive, puisqu'elle éloigne à chaque instant la planète de la tangeute à sou orbite en tendant à la rapprocher du soleil.

310. Au moyeu de fa seconde loi, nous allons déterniinerla loi suivant laquelle varie l'intensité de celte force atec les diverses positions de la planète sur son orbiie. Soit O la position du soleil dont le centre de gravité FîB. io3. ^*' "" foyer de l'ellipse. Soient

OI t'axe polaire, ÂA'^aa le grand axe de celte ellipse, l'angle AOI = u. Soient OM = r, MOI = 9 les coordonnées polaires de la position actuelle de la planète

L'équation polaire de l'ellipse est

ys{i~«

en appelant e l'excentricité ou le rapport de la distance focale au grand axe; ondéduitdelà

„in(a-.)

Par conséquent, en subslhuanl dans la formule (305)

-wai

Remplaçant dans le numérateur i par a — i , puis a-i- a*cos( fl — ») = 2[n- «cos(e — »)]

VIHGT-Qtl;lTItlkMB LEÇON. 333

par sa valeur ■ > tirée de l'équation de la courbe,

il vient, en divisant haut et bas par i — ?',

£a dilTér en liant

on en déduit

dr

Or on a obtenu I

équation

— 2Rrf/- =

dv'

do

Li résulle

et

VU posant

Ainsi Ja force R ejt e« raison inverse du carré de la distance du centre de gravité de la planète à celai du soleil. Le calcul donne R > o, ce qui montre bien que la force motrice est attractive, comme on l'avait déjà vu.

311. On peu t encore iiouver la valeur de R de la manière suivante. On a

d'où résulte

-.co.(l

a34 conns de mécabiqvb.

Par conséquent, à cause de ré<juatîo» (a), n° 307, on a

mplement

3i% Si r= I, on a R = p. Nous allons démontrer que cette quantité fi, qui représente la force accélératrice rapportée à l'unité de distance, est la même pour toutes les plauètes. La constante c représente, pour une orbite quelconque, le double de l'espace parcouru par le rayon vecteur, dans l'unité de temps. Donc, si l'on appelle T le ' temps de la révolution complète de la planète considérée, on a

h étant le demi petit axe de l'ellipse ; on tire de là

4^rM*0^-^,

Or, d'après la troisième loi de Kepler, le quotient — est le même pour toutes les planètes ^ donc fi est constant, ce qui démontre le théorème énoncé.

VINGT-CINQUIÈME LEÇON