SOTTE DD MOUVEMENT DES PLANÈTES

HoaTemenl d'un point attiré par un centre Qxe en raison inverse di de la distance. — Cas d'une orbite elliptique. — Cas d'une orbi eulaiie ou presque circulaire. — Cas d'une orbite parabolique.

MOUTEMEST D UW POIBT ATTIRÉ PAR UN CEMTBE FIXE B» TtAISOlf IHVEBSE RIT CABBÉ DE LA DISTAHCE.

313. Supposons toute la masse d'une planète réunie à son centre de gravité, et cherchons le mouvement que prendra ce point, sollicité à chaque instant par une force dont la direction passe constamment par un point fixe O, et dont l'intensité varie en raison inverse du carré de la distance OM = r.

En premier lieu, la trajectoire est plane et située dans le plan qui passe par le point fixe et par la direction de la vitesse initiale. Prenons le point O pour pôle et Oj:pour axe polaire, et soient retS les coordonnées du point M, au bout du temps t : on aura, par le principe des aires ,

(i) r'dO=:cdf.

Or (303)

en appelant w la vitesse du mobile et d l'angle que forme

Fie. 104.

a3Ô COURS DE MÉCIHIQUE,

le rayon vecteur avec la langenEe à la irajectoire. Donc

{2) ^ = .XrsinJ.

Ainsi OQ peut dire que la constante c, qui représentait déjà le double du secteur engendré par le rayon vecteur, pendant l'unité âc temps, la trajectoire étant supposée connue, sera pour nous, dans la question actuelle, le produit de la vitessedumobileparla perpendiculaire abaissée du point Gxe sur la tangente, a un instant quelconque, par exemple à l'origine du temps.

Soit mainlenanl R la force accélératrice à l'îostant que l'on considère. On a

(3) */*'' = — aR<fr,

et comme ici R = -~t en appelant ft la force accélératrice à l'unité de distance, il vient

et, par suite, en intégrant,

La valeur de la constante arbitraire b se déterminerait en cherchant la valeur de — — i*', à une époque quelconque du monvemeni, par exemple à l'origine du temps. D'ailleurs, puisque

-WâT

l'équation différentielle de la trajectoire est

4^(ffll-

VIMGT-CinQVIEHB LEfOIt.