Pour intégrer plus facilement, posons d'où résulte
lj— b -\- 3f[S — c'a'
On voit que -j- devant être <| o ou > o, suivant que r
croit ou décroît lorsque B augmente, il faudra prendre au numérateur le signe — ou le signe -i- , suivant que le premier ou le second cas aura lieu. Si donc nous supposons que r croisse en même temps que @, on aura
de =
\j—b-\- 2ftï — c't" v'p' — *C — (<r"z — (< )' OU bien
dO=:-
On a toujours fi' — ic' |> o, sans quoi -r- serait imaginaire pour toutes les valeurs possibles de 6, Donc si l'on pose
il vient
c'dz ^^ — rfj
^ft' — ic* ^l — q'
d'où, en intégrant et appelant u un angle constant, on a enfin
cos(e — u) =
Quoique cette formule ait été établie dans Hiypo-
938 COUBS DE MÉCàHIQOE.
ihése où r et S croissent siDiultanétnenl, elle convient également, alors uième que r dioiioue lorsque d croit.
En effet, lorsque ce dernier cas a lien, -j- doit être plus
grand que o; donc il en est de mèiue de -^\ car, à cause
, , c'dz , , . drj dt
de dq = , 1 dq et as, et par suite -77 et -7-, sont
^ ^ èc- d6 d9
toujours de même signe. Or l'équation g ^ cos {S — tu) , donnant j? ^ — sin (9 — w), fait voir qu'en prenant la
formule 9 — m = arc cos 1^, —, et par suite—) changent de signe en s' évanouissant lorsque $ — <>) devient égal à un multiple quelconque de jt, ce qui correspond au\ positions du mobile où s, et par suite r, est un maximum ou un minimum.
315. En remplaçant z par -, dans l'équation (y), il vient, pour l'équation de la trajectoire,
On voit que cette courbe est toujours une section conique, car l'équation générale d'une section conique, rapportée à nn foyer et à un ase polaire, faisant un angle (o avec l'axe qui passe par ce fojer, est
•-■ + .co.(«-.)
La courbe est une elli[»e, si s<^ 1; une parabole, si c ^ 1, et une hyperbole, si e >• 1. Par conséquent, en se
rappelant que b est égal à la valeur initiale de — — v*.
VINGT-CINQUIÈME LEÇOII. oSq
on voit que, si à une époque quelconque du mouvement on a
f*<C — t la courbe est aae ellipse;
1^:=—, elle est une parabole;
p'^- — , elle est une hyperbole.
Ainsi l'espèce de la courbe dépend uniquement de la grandeur de la vitesse à l'origine du temps, mais nullement de sa direction, en sorte que différents mobiles, lancés successivement du même point de l'espace, avec des vitesses égales, mais de directions différentes, parcourraient tous des courbes de même espèce.
CAS ou 1.1 COU&BË EST UNE ELLIPSE.
316. En appelant aa le grand axe et e l'escen tri cité, l'équation de l'ellipse est
1 + e cos [ e — w ) Identifiant avec l'équation (8) du n" 315, on a
formules qui déterminent les éléments de l'ellipse, en fonction des données du problème.
317. II reste encore à déterminer r, ret en fonction du temps t, afin de connaître la vitesse et la position du mobile à une époque donnée. On a d'abord (313)
a4o OODBS DB HÉCANIQUE.
d'où, à cause de
dr' + r'dB' •" = — AT— ' on a
tir'-hr^tlB' 2(t ,
En élimiDant dd entre cette équation et l'équation i*dQ= cdt, il vient
^ — t»' -»- 2ftr'
r<lr
en supposant d'abord que r croisse avec t. En remplaçant b par - et c' par (*« (i — e'), cette différentielle peut se mettre sous la forme
rdr
Wi'f'
Si AMG est l'ellipse parcourue, le mobile est le plus près du point O, p6le et foyer de l'ellipse, à l'extrémité A du grand axe nommé périhélie de la planète, et il est le plus loin de O, à l'autre extrémité B, qu'on appelle aphélie de la planèle. Par conséquent le rayon vecteur r varie de OA = a(i — e}àOB = a(n-e).
Il est donc permis, pour la commodité de l'intégration, d'introduire une variable auxiliaire u, telle que
On en tiro
VINGX-CIBQtJlEHE LEÇOS. a4l
eti'équalion (4) devient
— — = A^{i — eco&u) dit ou
(6) ntfr— (i — ecos«)da,
eu posant, pour abréger,
En inté(;rant, on a l'équatioa
(j) nt^^w — eûau.
il n'y a pas de conslanie à ajouter, si l'on compte le temps à partir du moment où la planète est à son périhëlie; car alors r = a(i — e), et par conséquent cosk=i, d'où u= o en même temps que t= o.
318. Pourconslruirerangleauxiliairea, surBA comme diamètre décrivons uoe circonférence de cercle. Soient M la position actuelle du mobile et C le centre de l'ellipse. Prolongeons l'ordonnée MP jusqu'au point K où elle rencontre la circonférence. Je dis que l'angle KCA = u. V.a. effet, on a, en vertu d'une propriété connue des layons vecteurs de l'ellipse,
r — o — fiXCP=a — exfl cosKCA = a{i — e cosKCA) ;
mais
(8) r-=ia[i — £cosu),
d'où
cosK,CA = casu et KCA = u.
L'angle u est appelé Vanomalie excentrique de la planète, tandis que l'angle MOA =; 9 — w se nomme Vanomalie vraie. On pourrait maintenant éliminer u entre les équations (7), (8); mais il vaut mieux conserver ces deux équations avec )a variable auxiliaire u. En donnant SivKM. — j/«., 1, 16
34a COURS DB XÊCinKJTTE.
à cette variable toutes les valeurs possibles, on en d^uira ensuite les valeurs correspondantes de r et de t.
319. On peut trouver nne équation entre l'anomalie vraie et l'anomalie excentrique. On a
d'où résalte
ecostt^i —
(-eco»(9 — «}'
-l-ecoï(fl — w) I -t-.?coa(8 — •»}
fi->-^)t.+cos{fl-»)]
'-^'='>"'- .+,cos(9-»)
En divisant ces denx ^uations l'une par l'antre, on obtient
^^—-tang'-fS-*)
tsDg - (fl — 6>) = ^ y-— taog - B.
320. La dur^ T de la révolution entière de la planète se déduit de la formule nt^u — eùnu, en y faisant u = an, ce qui donne
„ 2irn ifâ
en remplaçant n par— ^. On en déluît, pour la valeur
de la force accélératrice, à t'nnité de distance, commune à toutes les planètes
i*=-TÎ-
TtHGT-CIirQtllÈKB LBÇOM. 343
Il est Imn d'observer qv.e rexcentricité de tontes les orbites planétaires est très-petite, car pour la planète
Mars, dont l'excentricité est la plus grande, on a e^^-
CIS d'uHE OMITB CmCDLitEtE OD FRESQUE CIBCTILAIRE.
321. La théorie indique que l'ellipse peut se réduire à un cercle. Dans ce cas e ^ o, r=: a et le carré de la
vitesse v*=~ devient constant. En même temps, la force
accélératrice
est aussi constante et égale à la force centripète -•
3ââ. Quand le nombre e est t-rès-petit, on peut déterminer approximalivement l'anomalie excentrique u, le rayon vecteur r et l'anomalie vraie B- — u, en fonction du temps t. De l'équation
K r= i7f -I- itsin(»/ + tf sin»)
ou
u^=nt+ esin/trcos(e«iiii) -f- ff sin(esiDti] cosnf.
Maintenant, comme e est supposé très-petit, convenons de ne conserver, dans cet|ui va suivre, aucun terme qui contiendrait e k une puissance supérieure à la première. Alors on devra simplement prendre i pour ces {«sin u), esinu pour sin(esiDu), et négliger «sin(esinu), L'équaùon précédente devient (il a =int -^^ eûant.
En remplaçant » par cette valeur dans l'éqnaiion r = a(i — ecosu) et négligeant, comme ci>dessu8, les
a44 COURS DE HÉCAMQITE.
puissances de e supérieures à la première, on oblient de
infime
(a) rc=fl(i — ecosnï).
Enfin, pour avoir la relation entre S et t, on pan de l'équation r*d$ :=cdt. On a
i4-ccos(B — «) ' ' i4-ccos(9-u)
c'est-à-dire
/■= a(i — e") [i — e eos(e — m) -h e'cos'(9 — «) J
ou simplemenl
en négligeant les puissances de e, supérieures à la première. On en déduit au moyen de la mèai,e simplification
r'di = a'[i — ae eostO — ")](/B et par suite, à cause de
r'd6 = ceh = na' tj i — e'dl, on a
[i — 2ecos(e — «)]de =ndt,
d'où l'on Ure, en intégrant,
Enfin si l'on remplace sin (9 — ■ 0) par
Nn[n( + aeùn (e — »)] = sin/rt cos[2« 8in{ 6 — " )]
-1- cos/i( sin[ae 8in(e — m)],
il vient, en développant et négligeant comme précédem-
VIDGT-ClNQVtÈUB LEÇO». ^4^
ment les termes qui contiennent en facteur une puissance de e supérieure à la première,
(3) 8 — n = nt+ résinât.
Les équations (i), (3) et(3} sont celles auxquelles on voulait parvenir.
323. Quand e= o, la formule (a) donne r= a et fait voir que la trajectoire est un cercle. En même temps, l'équation (3) montre que l'angle $ augmente proportionnellement au tempsj donc la vitesse est constante, comme on l'avait déjà conclu d'auircs formules.
D'après cela, AMA' étant l'orbite d'une planète, décri- Fig. 106. vous du point O comme centre,
avec un rayon arbitraire On, une circonférence de cercle.
Imaginons maintenant qu'un mobile quelconque m se meuve sur celte circonférence avec une vi lesse constante, de telle sorte que ce mobile et la planète se trouvent au même instant en a et en A sur le grand axe de l'ellipse, et qu'ils accomplissent tous deux une révolution entière dans le même temps. La formule 8 — » = nï -+- ae sinn/ fait voir que, dans la première moitié du mouvement, c eslà-dire de A en A', le rayon vecteur OM précédera Om et que l'inverse aura lieu dans la seconde période du mouvement
CAS o'uKE PABADOLE. ■
