Considérous en particulier le cas de trois forces

p. g X, Y, Z, représentées par les

trois c6tés contigus AB, AC, AD du parallélipipède A6CDG. Il résulte de la construction pré- - cédente que la résultante R de ces trois forces est représentée par la diagonale AG de ce parallélipipède.

16. Réciproquement, on peut toujours décomposer une force R, dirigée suivant AG, et appliquée au point A, en trois autres dirigées suivant trois droites quelconques kx, hjr, Az partant du point A et non situées daus un même plan; car, si l'on mène par le point G trois plans parallèles aux plans xy, xz^yz, on formera un parallélipipède, et AG = R sera la résullantc des trois forces X, Y, Z, représentées par les arêtes AB, AC, AD.

RELATIOHS EHTKE UNE FOKCE ET SES COMPOSANTES SOIYAnT TROIS AXES KECTAMCtTLAIRES.

17. Dans le cas où les composantes so^t perpendiculaires entre elles, les lignes AB, AC, AD sont les projections orthogonales de AG sur les trois axes hx, Aj, Az; donc si l'on désigne par a, b, c les angles que la résultante fait avec les axes, on aura

(i) X=Rcosa, Y = RcosA, Z=Rcosc.

Ces relations font connaître immédiatement les composantes X, Y, Z, quand R, a, b, c sont connus. Si, au contraire, les forces X, Y, Z sont données, on pourra en déduire K, a, b, c. En eifet, en élevant au carré les équations (i) et les ajoutant, on aura

R' = X' + T'4-Z', à cause de

cos'fl -i-cos't -|-cos'c = i.

n en résulte

18. Les formules (i) sont générales, pourvu que, regardant comme positives les forces qui tirent le point A dans le sens des coordonnées positives, et par suite comme négatives celles qui tirent dans le sens contraire, on prenne pour a, &, c les angles que fait la direction de la résultante avec les parties positives des axes Ax, Âj, Az.

8 COuns DE MËCAKlqCE

Pour s'en convaincre, il suffit d'examiner, par esemple, Tie. 1. le cas OÙ X et Y étant positives,

Z serait négative. On voit, en construisant le parallélipîpède ABCD, que la résultante R fait avec Ax el Aj des angles atgus ei avec A z un angle obtus j on a donc

C0Sil>-O, cosfr^-o, COSC<0,

-xt

-Z = Kcoi{>-.).

Mais cette dernière égalité revient à Z = R cosc.

Ainsi les formules (i) sont encore applicables dans ce

DEUXlfcUB I.BÇOR.

DEUXIÈME LEÇON

SOTTE DE LA œMPOSlTION DES FORCES œNCOUBANTES.

Calcnl de la résultante d'nn nonibre quelcoDqae de Torces appliqnéea en uamème point. — Gond i lion» d'équilibre de plusieurs forces conconranles. — Équilibre d'uu point assujetti k demeurer lur une sartafe.

CALCUL DE LA nÉSDLTÂIJTE DtJN NOHBKB QDfXCONQDE DE FORCES APPLIQUÉES Bit DM MÊME POINT.

19. On ramène au cas de trois forces rectangulaires la composition d'un nombre quelconque de forces appliquées en un même point Â.

En effet, menons par ce point trois axes rectangulaires quelconques Âx, Aj, A^. Soient a, j3, 7; a', (5', 7'. . ■ ., les angles que les directions des forces P, P', P", . ■ ■ font avec les axes Ax, Aj^, Az.

Si l'on décompose la force P en trois autres dirigées suivant les axes, ces composantes seront représentées, quant à la grandeur et au signe, par

Pcosa, Pcosp, PC0S7.

Des expressions analogues représenterontles composantes des forces P', P", . ... En désignant par X, Y, Z les résultantes des forces dirigées suivant les axes, on aura

iX— f cosa+ l"cosa'+ P"cosa"H , y= PcosPh- P'cosp'-t- P'cosp'H-. . ., Z = P COSï -i- P' cos/ -r- p" COS7" +

La question est donc ramenée à la composition de trois forces appliquées à angle droit en un même poiut. En appelant R la grandeur de la résultante, et a, b, c les

lO COURS DB MéCAIIlQDE.

angles qu'elle fait avec les axes, ou aara (17)

cobA^ —1 cosi; =: —

ft R

20. L'inteasité de la résultante ne dépend pas du choix des axes ou des angles «,|3, y; a', p', 7',. . . : il doit donc être possible de l'exprimer indépendammenl de ces quantités.

En effet, élevons au carré les équations (i) et ajoutons-les. En observant que l'on a

X' + Y'-HZ' = R', coCb 4-cos'P -i-cos'7 =1,

C0S'a'-l-C0S*p'-+-COS'7':=l,

+ aPP' (cosacosa' + cos^cos^' -I- cosycosy' )-!-....

Mais si l'on désigne par (P, P') l'angle que font entre elles les directions des forces P et P', on a

cosa cosoi' -1- cos^cosp' + COS7 cosy' = cos(P, P'). Par conséqueul, on a

j -HaPP'coï(P, P') ■+-2PP"cos(P, P")-i-...,

formule où la grandeur de la résultante est exprimée en fonction des intensités des forces et des angles qu'elles font entre elles.

Si l'on considère R, P| P', . . . comme les côtés d'un polygone, cette équation donnera la valeur d'un côté en fonction des autres côtés et des angles que ces côtés font entre eux. Il en résulte ce théorème : he caiTé d'un côté d'un polygone est égal à la somme des carrés des autres côtés, plus deux fois la somme des produits de ces der-

DEUXIËHE LEÇOH. II

niers côtés pris deux à deux et multipliés par le cosinttx de V angle <jiiih forment.

21. Au lieu Ae décomposer, comme nous venons de le faire, la force P en troia forces dirigées suivant les trois axes Ax, A^, Az, on peut la décomposer ea deux forces agissant, l'une suivant k.x, et l'autre dans un plan z Aj^ perpendiculaire à Ax. La composante suivant Ax est représentée en grandeur et eu signe par Pcosix. On dit alors que P cosa représente la force P estimée suivant la direction Âx. Sous ce point de vue, les équations (i) donnent lieu au théorème suivant :

La résultante de plusieurs forces, estimée suivant un axe gitelconque, est égale à la somme de ces forces estimées suivant le même axe,

CODDITIOMS d'équilibre DE PLUSIEURS FORCES CONCOUEAMTES.

22. Pour que plusieurs forces appliquées à un même point se fassent équilibre, il faut que leur résultante soît nulle. Or, en conservant les mêmes notations que dans la question précédente, on a

R = VX-'-h Y' -HZ' On devra donc avoir

X = o, Y = o, 2 = 0, c'est-à-dire

iPcoso: 4- P" co»a' + P'cosa"-H ,.=0, Pcosfl -h P'cosp'-i-P''cosp' ■■-,.. r=o.

P C0S7 ■+■ P' C0S7' -I- P" C0S7" -1- ... ^= (1, et réciproquement, si ces conditions sont remplies, il y aura équilibre, puisque la résultante sera nulle.

23. Il est aisé de vérifier que, si ces conditions sont remplies, l'un» quelconque des forces sera égale ei oppo- •ée à la résultante de toutes les autres.

la CODUS de XÉCATItQVE.

En eSet, désignons par R' la résultante des forces P', P", P'", . . . , et par a', i', c' les angles que cette résultante fait avec les axes; nous aurons

/ R' COSd' := P' COSa' -t- P" COSa' + . . ,

(■ï) I R'cosi'^ P'cosp'-t-P"cosp" + . . .,

( R'cose':=P'cos7'-i-P"cos7"-l-

La comparaison de ces équations el des équations (i) donne

IPcosa = — R'cosa', Pcosp^-a'cosp', P C0S7 =^ — R' C0S7'; d'où l'on tire, en élevant au carré et ajoutant membre à membre,

P' — R'» ou P =. a', el, par suite,

ou bien

- cosfr', cosy:^ -

d'où l'on conclut que la force P est bien égale et directement opposée à la résultante R' des forces P', P", P"',