Si la force motrice était nulle, on aurait
mdv
——- = 0, d ou pr-: constante, dt
et N serait à la fois la mesure de la force cenlripèle et de la force centrifuge.
Si la force P était dirigée suivant la tangente à la trajectoire, on aurait
„ mdv
La résistance de la surface serait la force centripète. Dans ce cas, MN se confondant avec MF, le plan osculateur PMF contient la normale N à la surface. Alors la courbe que décrit le mobile est telle, que tous ses plans osculaleurs sont normaux à la surface. Cette propriété appartient, comme on sait, à la ligne la plus courte tracée sur la svnface entre deux points. On peut donc dire que dans ce cas la trajectoire est la ligne la plus courte que l'on puisse tracer sur la surface entre deux quelconques de ses points.
AUTRE MANIÈRE d'obTEKIU LES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.
236. Huygliens trouve à peu près de la manière suivante les composantes de la force motrice. Le mobile arrivant au point M de sa trajectoire, au bout du temps /, décomposons la force motrice P en deux forces T et Q : l'une dirigée suivant la tangente MT, et l'autre perpendiculaire à cette tangente. Dans le temps infiniment petit
t86 coxjus de mécantqtje.
dt, le mobile parcourt l'arc MN = ds. Si l'on considère la force motrice P comme constante en grandeur et en direction pendant le temps infiniment petit dt, l'élément MN ou ds peut être considéré comme situé dans le plan PMT qui passe par la tangente MT au point M et par la direction de la force P. C'est donc le plan osculateur de la trajectoire, et la direction de la force Q passe par le centre de courbure K. Pendant que le mobile parcourt l'arc MN, sa projection sur la droite MK parcourt l'espace MH, projection de MN, en se mouvant comme un point de même masse qui, n'ayant pas de vitesse initiale suivant MG, serait sollicité par la composante de la force P parallèle à MK, composante qui conserve pendant le temps dt la valeur Q qu'elle a au point M. On aura donc
(i) mTL = -^dtK
Décrivons dans le plan PMT le cercle osculateur au point M, qui touche la tangente MT en M et passe par le point N infiniment voisin du point M : le carré de la corde MN est égal au diamètre multiplié par la projection MH de MN sur le diamètre MK. On a donc
MN
MH =;
2 MK
!MH =
ds-"
ou
en substituant l'arc infiniment petit ds à sa corde MN et désignant par p le rayon de courbure MK. En égalant les valeurs (i) et (2) de MH, on aura
d'où
iliy
dt
Pendant que Je mobile parcourt l'arc MN, îa projection sur la tangente MT se meut comme un point de masse ui sollicité par la force constante T-, on a donc
^^^./(.cosa)^ dt
a. désignant l'angle que la vitesse variable v du mobile sur l'arc MN fait avec MT. En effectuant la différenlia-
tion,
dv . do!.
T := m —- ces a — rnv sm a — -
dt dt
Mais au point M l'angle a est nul, ce qui donne pour ce point
ds> m —
dt
Ces considérations s'étendraient au cas d'un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface.
BEMÂRQUES SUR LA FORCE CENTRIFLGE.
>7, Quand un corps solide tourne uniformément
Fig. 86, autour d'un axe fixe AB, chaque
point M de ce corps possède une
force centrifuge particulière F,
qui pour l'unité de masse est
ésfale h. -•) V étant la vitesse du
P point M et p le rayon KM du
cercle qu'il décrit. En appelant T le temps d'une révolulion entière, on a
d'où F =
^Tz'p
ï83 COURS DE MÉCANIQUE.
Les forces centrifuges des dilïérents points sont donc proportionnelles à letir distance à l'axe.
258. Ces remarques sont applicables à la terre. Outre son mouvement de translation dans l'espace, elle a un mouvement de rotation autour d'un axe passant par son centre.
Comme la force centrifuge tend à éloigner tous les corps de l'axe de rotation de la terre, elle doit modifier l'intensité de la pesanteur à la surface du globe. Pour
apprécier son influence, considérons d'abord un point M situé sur l'équateur. Appelons G l'intensité de l'attraction de la terre sur l'unité de masse au point M, force dirigée suivant MO*, F la force centrifuge du point M, rapportée à l'unité de masse, force dirigée suivant MF, prolongement de OM; enfin g le poids apparent de l'unité de masse ou la pression sur l'appui qui soutient la masse m. On aura g =^ G — F. Si l'on appelle p le rayon terrestre et T le temps que la terre emploie à faire une révolution, on a (257)
donc on aura
Pour se faire une idée plus exacte de la diminution que la force centrifuge fait subir au poids du corps, obseï^vons que la circonférence d'un grand cercle de la terre est égale à 4^000000 de mètres. L'observation donne pour^ très-sensiblement la même valeur dans les différents lieux de la terre. En prenant la valeur g = 9", 80896, à Paris,
