RELATION ENTRE LE TRAVAIL ET LA FORCE VIVE

267. Si dans l'équation (2) du n° 260 on remplace Xrte + Ydy H~ Z dz par Tds, on aura

(i) dim>'' = o.Tds,

d'où

(2) mP* = C-f- 2 / 't^^.

Si k est la vitesse lorsque s := Sq, on aura C =^ mJâ, et par suite

(3) {mi>^ — mh^) = i I \cls.

Ainsi l'accroissernent de force vive du mobile, lorsqu'il passe d'une position à une autre, est égal au double du travail de la force motrice.

268. Si la force P est la résultante de plusieurs forces Pj, Pj,. . ., dont les composantes tangentielles sont Tj, Ta, T3,. - ., ou aura

d'où

jT(ls= fT,ds-i- JT.ds

VIKGT ET UNIÈME LEÇOK. Iq5

On aura donc (î) ;«P^ — mk^ = 2 ( T,ch+ JT.ds -h. . .y

Donc, si Ton appelle forces mourantes celles qui font un angle aigu avec la tangente, ci forces résistantes celles qui font un angle obtus et dont l'effet est de retenir le mobile dans son mouvement sur la courbe, on pourra dire que :

L'' accroissement de force 'vive cVun mobile, lorsqiiil passe d'une position à une autre, est égal au double de Vexcès du travail des forces mouvantes sur le travail des forces résistantes.

Ce principe est ce que l'on nomme le principe des forces vives ou de la transmission du travail, pour le cas d'un simple point matériel. Nous retendrons plus tard au cas d'un nombre quelconque de points.

CONSÉQUENCES DU PRINCIPE DES rORCES VIVES.

269. Quand le mobile n'est sollicité par aucune force ou qu'il l'est seulement par des forces toujours normales à la trajectoire, on a T = o, et par suite v = k. Ainsi le mouvement est unifonne, ce qu'on a déjà trouvé par une autre mélliode.

270. Supposons que ^dx -\-Y dy -\- Tjdz soit la différentielle exacte d'une fonction f{x^ y, z) de trois coordonnées x, j^ z considérées comme des variables indépendantes, ce qui exige que l'on ait

dx dy dz

Il résulte des lois de la différentiation que x, y, z étant regardées comme des fonctions quelconques du temps, on aura

^dx-^Ydj~hZdz=zTds = df[.T,x,z).

ig6 COURS DE MÉCANIQUE.

Par conséquent, l'équation des forces vives se réduira à

et si l'on désigne par a^ b, c les coordonnées du mobile, lorsque v = k, on aura

(2) mi>'- — m¥ = if[.T, y, z) — 2./ (a, b, c).

Il résulte de là que l'accroissement de force vive, lorsque le mobile passe de la position [a, h, c) à la position (x, f, z) , ne dépend pas de la trajectoire dans l'intervalle, ni du temps qui s'est écoulé entre les deux positions extrêmes, mais seulement des coordonnées de ces deux positions.